а) Решите уравнение
${16}^{\sin x}+{16}^{\sin (x + \pi )}=\frac{17}{4}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi }{2}; 3\pi ]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) x = πk ± π/6, k ∈ Z; б) 11π/6, 13π/6, 17π/6
Решение
а) Сначала найдём все решения, затем отдельно проверим, какие попадают на заданный отрезок. Для угла со сдвигом применяем формулы суммы или разности:
$$
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v;\qquad\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
$$
В формулах ниже подставляем указанный угол и его синус/косинус; так сдвинутый аргумент заменяется обычными $\sin x$ и $\cos x$.Полуоборот меняет знак синуса:
$$
\sin(x+\pi)=\sin x\cdot(-1)+\cos x\cdot0=-\sin x.
$$
Обозначим $t=16^{\sin x}>0$. Отрицательный показатель даёт обратную величину:
$$
16^{\sin(x+\pi)}=16^{-\sin x}=\frac1{16^{\sin x}}=\frac1t;\qquad t+\frac1t=\frac{17}{4}.
$$
Умножим обе части на положительное $4t$, поэтому корней не теряем и не добавляем:
$$
4t^2+4=17t;\qquad4t^2-17t+4=0.
$$
Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Его коэффициенты $A=4$, $B=-17$, $C=4$. Сначала вычисляем дискриминант — число под корнем в формуле решения:
$$
D=B^2-4AC=(-17)^2-4\cdot(4)\cdot(4)=289-64=225.
$$
Извлечём квадратный корень из дискриминанта:
$$
\sqrt D=\sqrt{225}=15,\qquad 15^2=15\cdot15=225.
$$
При положительном дискриминанте есть два корня. Подставим коэффициенты отдельно для каждого знака, не пропуская вычисления:
$$
t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{17+15}{8}=\frac{32}{8}=4;
$$
$$
t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{17-15}{8}=\frac28=\frac14.
$$
Оба значения положительны. Так как $16=2^4$, перепишем корни степенями 16 и приравняем показатели:
$$
4=2^2=16^{1/2};\qquad\frac14=2^{-2}=16^{-1/2};\qquad\sin x=\frac12\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac12.
$$
Значения углов, которые понадобятся далее, можно получить из двух прямоугольных треугольников. В равнобедренном с катетами 1 гипотенуза равна $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, поэтому синус и косинус угла $\pi/4$ равны $1/\sqrt2=\sqrt2/2$. Половина равностороннего треугольника со стороной 2 имеет гипотенузу 2, короткий катет 1 и второй катет $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Отсюда $\sin(\pi/6)=\cos(\pi/3)=1/2$ и $\cos(\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
Чтобы получить все углы, используем единичную окружность: косинус — горизонтальная координата её точки, синус — вертикальная. Одинаковый косинус имеют точки, симметричные относительно горизонтальной оси; одинаковый синус — относительно вертикальной. Один полный оборот добавляет $2\pi$ к углу и не меняет координаты. Поэтому перечисленные далее точки вместе с полными оборотами дают все решения, а не только первые положительные углы.
Для $\sin x=\frac12$ нужна вертикальная координата, которая положительна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Для $\sin x=-\frac12$ нужна вертикальная координата, которая отрицательна. Выбираем обе точки с такой координатой, используя углы приведённых треугольников и симметрию окружности.
$$
x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
Буква $n$ в каждой серии означает любое целое число; значения параметра для разных серий выбираются независимо. Все преобразования сделаны без деления на выражение, которое могло обратиться в нуль, либо с отдельно проверенными ограничениями. Поэтому других корней нет. Полное решение пункта а):
$$
x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.
$$
б) Отрезок замкнут: подходящие концы тоже включаем. Решим неравенство отдельно для каждой серии. Сначала делим на положительное $\pi$, затем вычитаем постоянную часть и делим на положительный шаг серии.
Серия 1: $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le \frac{1}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(\frac{1}{6});\qquad \frac{2}{3}\le n\le \frac{17}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{13\pi}{6}.
$$
Серия 2: $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le \frac{5}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(\frac{5}{6});\qquad \frac{1}{3}\le n\le \frac{13}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{17\pi}{6}.
$$
Серия 3: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{1}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{1}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{1}{6});\qquad \frac{5}{6}\le n\le \frac{19}{12}.
$$
Подходящие целые значения: $n=1$. Подставим каждое:
$$
n=1:\qquad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi\cdot(1)=\frac{11\pi}{6}.
$$
Серия 4: $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$.
$$
\frac{3\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3\pi;\qquad \frac{3}{2}\le -\frac{5}{6}+2n\le 3.
$$
$$
\frac{3}{2}-(-\frac{5}{6})\le 2n\le 3-(-\frac{5}{6});\qquad \frac{7}{6}\le n\le \frac{23}{12}.
$$
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому эта серия не даёт корней на отрезке.Так проверены все целые параметры каждой серии, поэтому отбор полный. Ответ пункта б):
$$
x=\frac{11\pi}{6},\quad \frac{13\pi}{6},\quad \frac{17\pi}{6}.
$$