ФИПИ 003F6E — Четырехугольники и их свойства

Нужно доказать отношение отрезков и вычислить отношение площадей. Так как $AB=BD$ и $BE$ — биссектриса, удобно направить горизонтальную ось вдоль этой биссектрисы: точки $A$ и $D$ окажутся симметричными. Шаг 1. Введём координаты. Пусть $AB=BD=r$, $BC=q$, где $q>r>0$. Половину угла $ABC$ обозначим $\theta$. Выберем $B=(0;0)$, ось $x$ вдоль биссектрисы, а $A$ расположим выше неё. Тогда $$A=(r\cos\theta;r\sin\theta),\quad D=(r\cos\theta;-r\sin\theta),$$ $$C=(q\cos\theta;-q\sin\theta).$$ Точки $A,D$ имеют одинаковую первую координату, поэтому $AD$ вертикальна. Пересечение с горизонтальной биссектрисой — $E=(r\cos\theta;0)$. Перпендикуляр из $C$ к вертикальной $AD$ горизонтален, значит, $K=(r\cos\theta;-q\sin\theta)$. Отсюда $AE=r\sin\theta$, $EK=q\sin\theta$. Делим: $$\frac{AE}{EK}=\frac{r\sin\theta}{q\sin\theta}=\frac rq=\frac{AB}{BC}.$$ Сокращение допустимо: половина угла треугольника положительна, поэтому $\sin\theta>0$. Пункт а доказан. Шаг 2. Найдём координату $F$. По теореме о биссектрисе $AF:FC=AB:BC=r:q$. Точка $F$ делит $AC$ в этом отношении, поэтому её координаты равны взвешенным средним с противоположными весами: $$F=\frac{qA+rC}{r+q}.$$ Такую формулу можно получить, пройдя от $A$ долю $r/(r+q)$ всего вектора $AC$: $F=A+[r/(r+q)](C-A)$. Подставляем координаты: $$x_F=\frac{qr\cos\theta+rq\cos\theta}{r+q}=\frac{2rq\cos\theta}{r+q},$$ $$y_F=\frac{qr\sin\theta-rq\sin\theta}{r+q}=0.$$ Значит, $F$ лежит на горизонтальной биссектрисе, как и должно быть. Причём $$EF=x_F-x_E=\left(\frac{2rq}{r+q}-r\right)\cos\theta=\frac{r(q-r)}{r+q}\cos\theta>0.$$ Шаг 3. Вычислим площади частей. Для краткости пишем $c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$, оба числа положительны. Треугольник $ABE$ прямоугольный, с катетами $BE=rc$ и $AE=rs$: $$S_{ABE}=\frac12(rc)(rs)=\frac{r^2cs}{2}.$$ Четырёхугольник $CDEF$ разделим диагональю $CE$ на треугольники $CDE$ и $CEF$. У $CDE$ основание $DE=rs$ вертикально, а расстояние от $C$ до его прямой равно $qc-rc=(q-r)c$. Поэтому $$S_{CDE}=\frac12rs\cdot(q-r)c=\frac{r(q-r)cs}{2}.$$ У $CEF$ основание $EF=r(q-r)c/(r+q)$ горизонтально, а высота от $C$ равна $qs$. Значит, $$S_{CEF}=\frac12\cdot\frac{r(q-r)c}{r+q}\cdot qs=\frac{rq(q-r)cs}{2(r+q)}.$$ Складываем, приводя к знаменателю $2(r+q)$: $$S_{CDEF}=\frac{r(q-r)(r+q)cs+rq(q-r)cs}{2(r+q)}=\frac{r(q-r)(r+2q)cs}{2(r+q)}.$$ Шаг 4. Найдём отношение и подставим условие. $$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\frac{r^2cs}{2}\cdot\frac{2(r+q)}{r(q-r)(r+2q)cs}=\frac{r(r+q)}{(q-r)(r+2q)}.$$ Из $BD:DC=5:2$ можно записать $r=5u$, $DC=2u$, поэтому $q=BC=5u+2u=7u$, где $u>0$. Тогда $$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\frac{5u(5u+7u)}{(7u-5u)(5u+14u)}=\frac{5u\cdot12u}{2u\cdot19u}=\frac{60u^2}{38u^2}=\frac{30}{19}.$$ Проверка: общий масштаб $u$ и угол $\theta$ сократились — при заданном отношении сторон ответ не зависит от размера и формы треугольника. Ответ: а) $AB:BC=AE:EK$; б) $S_{ABE}:S_{CDEF}=30:19$.