ФИПИ 15EF35 — Четырехугольники и их свойства

Нужно доказать, что $O$ — середина $CK$, и найти отношение оснований по отношению площадей. Здесь достаточно параллельности прямых: запишем координаты и не будем вводить неизвестные углы. Шаг 1. Выберем удобный масштаб. Искомые отношения не меняются при одинаковом изменении всех длин, поэтому примем $AD=1$. Пусть $BC=r>0$, а высота трапеции $h>0$. Выберем $A=(0;0)$, $D=(1;0)$, $B=(b;h)$, $C=(b+r;h)$. Число $b$ задаёт горизонтальное смещение верхнего основания; оно не обязано быть положительным. Точка $E$ — середина $CD$, поэтому $$E=((1+b+r)/2;h/2).$$ Пусть $K$ находится на доле $t$ пути от $A$ к $B$. Тогда $K=(tb;th)$, где $0<t<1$. Шаг 2. Найдём $t$ из параллельности $CK$ и $AE$. Направления $KC$ и $AE$ равны соответственно $(b+r-tb;h(1-t))$ и $((1+b+r)/2;h/2)$. У параллельных векторов отношение соответствующих координат одинаково. По вертикальным координатам коэффициент равен $2(1-t)$. Значит, горизонтальные координаты удовлетворяют $$b+r-tb=(1-t)(1+b+r).$$ Слева $b(1-t)+r$, справа $b(1-t)+(1-t)(1+r)$. Вычитаем общую часть: $$r=(1-t)(1+r)=1+r-t(1+r).$$ Отсюда $t(1+r)=1$, то есть $t=1/(1+r)$. Следовательно, $$K=(b/(1+r);h/(1+r)).$$ Шаг 3. Проверим, что середина $CK$ лежит на $BE$. Обозначим середину $CK$ через $O_0$. Её координаты — полусуммы координат концов: $$O_0=\left(\frac{b+r+b/(1+r)}2;\frac{h+h/(1+r)}2\right).$$ Вычитаем координаты $B=(b;h)$. Первая разность равна $$\frac{b+r+b/(1+r)-2b}{2}=\frac{r-b+b/(1+r)}2=\frac{r(1+r-b)}{2(1+r)}.$$ Вторая равна $$\frac{h+h/(1+r)-2h}{2}=\frac{-h+h/(1+r)}2=-\frac{hr}{2(1+r)}.$$ А вектор от $B$ к $E$ равен $((1+r-b)/2;-h/2)$. Поэтому $$\overrightarrow{BO_0}=\frac r{1+r}\overrightarrow{BE}.$$ Это означает, что $O_0$ находится на прямой $BE$. Коэффициент $r/(1+r)$ лежит между0 и1, значит, даже на отрезке $BE$. Одновременно $O_0$ лежит на $CK$. Поэтому $O_0$ совпадает с данной точкой пересечения $O$. Следовательно, $CO=KO$. Пункт а доказан. Шаг 4. Вычислим отношение площадей. Основание $BC$ горизонтально на высоте $h$, точка $K$ — на высоте $h/(1+r)$. Значит, высота треугольника $BCK$ равна $$h-\frac h{1+r}=\frac{h(1+r)-h}{1+r}=\frac{hr}{1+r}.$$ Его площадь и площадь трапеции: $$S_{BCK}=\frac12\cdot r\cdot\frac{hr}{1+r}=\frac{hr^2}{2(1+r)},$$ $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}h=\frac{1+r}{2}h.$$ Делим первую площадь на вторую: $$\frac{S_{BCK}}{S_{ABCD}}=\frac{hr^2}{2(1+r)}\cdot\frac2{h(1+r)}=\frac{r^2}{(1+r)^2}.$$ По условию это $9/100$. Обе стороны отношения длин положительны, поэтому извлекаем положительные корни: $$\frac r{1+r}=\frac3{10}.$$ Умножаем на $10(1+r)$: $$10r=3(1+r)=3+3r,\qquad7r=3,\qquad r=3/7.$$ Так как $AD=1$, отношение $BC:AD=3:7$. Проверка: $r/(1+r)=(3/7)/(10/7)=3/10$, квадрат $9/100$. Ответ: а) $CO=KO$; б) $BC:AD=3:7$.