ФИПИ 5259A1 — Четырехугольники и их свойства

Нужно доказать, что диагонали перпендикулярны, и найти высоту. Известны две диагонали и сумма оснований. Построим треугольник, стороны которого будут равны именно этим трём известным величинам. Шаг 1. Выполним вспомогательное построение. Обозначим параллельные основания трапеции через $AB$ и $CD$. Через $C$ проведём прямую, параллельную $BD$, до пересечения с продолжением $AB$ за $B$ в точке $E$. Тогда $BE\parallel CD$, поскольку $BE$ лежит на прямой основания. По построению $CE\parallel BD$. Значит, четырёхугольник $DCEB$ — параллелограмм. Его противоположные стороны равны: $BE=CD$, $CE=BD$. Так как $E$ находится за $B$: $$AE=AB+BE=AB+CD=10.$$ Другие стороны треугольника $ACE$ — диагональ $AC$ и отрезок $CE$, равный диагонали $BD$. Поэтому их длины равны 6 и 8. Шаг 2. Применим обратную теорему Пифагора. Вычисляем квадраты: $$6^2=36,\qquad 8^2=64,\qquad 10^2=100.$$ Их сумма удовлетворяет равенству $$36+64=100.$$ Если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, угол напротив наибольшей стороны прямой. Здесь наибольшая сторона $AE=10$, значит, прямой угол находится при $C$: $$AC\perp CE.$$ Но $CE\parallel BD$, поэтому $AC\perp BD$. Пункт а доказан. Шаг 3. Вычислим высоту через две формулы площади. В прямоугольном треугольнике $ACE$ катеты равны 6 и 8. Поэтому $$S_{ACE}=\frac{6\cdot8}2=\frac{48}2=24.$$ Высота из $C$ к прямой $AE$ — это и высота трапеции $h$: прямая $AE$ совпадает с одним основанием, а $C$ находится на другом. По основанию $AE$ площадь того же треугольника равна $$S_{ACE}=\frac{AE\cdot h}2=\frac{10h}2.$$ Приравниваем две формулы площади и умножаем на 2: $$\frac{10h}2=\frac{48}2,\qquad 10h=48.$$ Делим на 10: $$h=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}.$$ Проверка: $10h/2=10\cdot(\frac{24}{5})/2=24$, совпадает с площадью по катетам. Ответ: а) диагонали перпендикулярны; б) $h=\frac{24}{5}$.