Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N,$ причём $AM:MC=1:2,$ $BN:ND=1:3.$
а) Докажите, что $\cos ∠BAD=\frac{1}{5}$.
б) Найдите площадь ромба, если $MN=5.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $60\sqrt6$.
Решение
Нужно связать положение точек на диагоналях с перпендикулярностью к стороне. Выберем координаты вдоль диагоналей, чтобы середина ромба была началом координат.
Шаг 1. Найдём координаты точек и соотношение диагоналей.
Расположим диагонали ромба на осях координат. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому можно взять
$$A=(-u;0),\quad C=(u;0),\quad B=(0;v),\quad D=(0;-v),\qquad u,v>0.$$
Точка $M$ делит $AC$ в отношении $1:2$: от $A$ до неё одна треть всей диагонали. Поэтому $x_M=-u+(2u)/3=-u/3$, $y_M=0$. Точка $N$ находится на четверти пути от $B$ к $D$: $y_N=v+(-2v)/4=v/2$, $x_N=0$. Значит,
$$M=(-u/3;0),\qquad N=(0;v/2).$$
Вычитая координаты, получаем направления $\overrightarrow{MN}=(u/3;v/2)$ и $\overrightarrow{BC}=(u;-v)$. По условию они перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение ноль:
$$\frac u3\cdot u+\frac v2\cdot(-v)=0,$$
$$\frac{u^2}3-\frac{v^2}2=0,\qquad2u^2=3v^2,\qquad u^2=\frac32v^2.$$
Эту связь используем при вычислении длин.
Шаг 2. Найдём косинус угла $BAD$.
Направления сторон из $A$: $\overrightarrow{AB}=(u;v)$, $\overrightarrow{AD}=(u;-v)$. Косинус угла равен скалярному произведению, делённому на произведение длин векторов:
$$\cos A=\frac{u^2-v^2}{\sqrt{u^2+v^2}\sqrt{u^2+v^2}}=\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}.$$
Подставляем $u^2=3v^2/2$:
$$\cos A=\frac{3v^2/2-v^2}{3v^2/2+v^2}=\frac{v^2/2}{5v^2/2}=\frac15.$$
Сокращение на $v^2/2$ допустимо, потому что $v>0$. Пункт а доказан.
Шаг 3. Используем длину $MN$.
Разности координат его концов равны $u/3$ и $v/2$, поэтому
$$MN^2=\frac{u^2}9+\frac{v^2}4=\frac{3v^2/2}9+\frac{v^2}4=\frac{v^2}6+\frac{v^2}4=\frac{2v^2+3v^2}{12}=\frac{5v^2}{12}.$$
По условию $MN^2=25$. Умножаем на 12 и делим на 5:
$$5v^2=300,\qquad v^2=60.$$
$$u^2=\frac32\cdot\left(60\right)=90.$$
Проверка: $u^2/9+v^2/4=(90)/9+(60)/4=25$, как требовалось.
Площадь ромба равна половине произведения перпендикулярных диагоналей:
$$S=\frac{AC\cdot BD}2=\frac{2u\cdot2v}2=2uv.$$
$$S=2\sqrt{u^2v^2}=2\sqrt{90\cdot60}=2\sqrt{5400}=60\sqrt6.$$
Здесь $5400=900\cdot6$, поэтому корень равен $30\sqrt6$.
Ответ: а) $\cos A=1/5$; б) $S=60\sqrt6$.