ФИПИ E87882 — Четырехугольники и их свойства

Нам понадобятся равнобедренные треугольники, возникающие у биссектрис. Биссектриса делит угол пополам, а прямая, параллельная основаниям трапеции, позволяет перенести равные углы. Шаг 1. Проведём через $O$ прямую, параллельную основаниям; обозначим её пересечения с $AB$ и $CD$ через $M_0$ и $N_0$. Поскольку $AO$ — биссектриса угла $BAD$, равны углы $M_0AO$ и $OAD$. Из параллельности $M_0O$ и $AD$ равны углы $AOM_0$ и $OAD$. Значит, в треугольнике $AM_0O$ равны углы при $A$ и $O$, а противоположные им стороны тоже равны: $$AM_0=M_0O.$$ Аналогично $CO$ — биссектриса угла $BCD$. Из $ON_0\parallel BC$ получаем равенство углов $OCN_0$ и $CON_0$, поэтому $$CN_0=N_0O.$$ Так как трапеция равнобедренная, сечения параллельными прямыми отсекают одинаковую долю каждой боковой стороны. Это можно увидеть из подобных прямоугольных треугольников, образованных высотами: высота от $AD$ до сечения одна и та же с обеих сторон. Следовательно, $AM_0=DN_0$, а $BM_0=CN_0$. Точка $O$ лежит между $M_0$ и $N_0$, так что $$M_0N_0=M_0O+ON_0=AM_0+CN_0=AM_0+BM_0=AB.$$ Итак, длина сечения равна боковой стороне. Шаг 2. В пункте а требуется именно длина сечения. Полученное равенство $M_0N_0=AB$ уже доказывает утверждение. Далее для краткости обозначаем $M_0=M$, $N_0=N$. Шаг 3. Получим соотношение длин из условия $AO=CO$. Обозначим $AD=d$, $BC=b$, $AB=CD=l$, $q=(d-b)/2$, высоту — $h$. Выберем $$A=(0;0),\quad D=(d;0),\quad B=(q;h),\quad C=(d-q;h).$$ По теореме Пифагора для боковой стороны $q^2+h^2=l^2$. Пусть $\tau=AM/AB$ — доля пути по боковой стороне снизу до сечения. Тогда $$M=(\tau q;\tau h),\qquad N=(d-\tau q;\tau h).$$ Длина горизонтального сечения равна разности первых координат: $$MN=(d-\tau q)-\tau q=d-2\tau q=d-\tau(d-b).$$ Мы уже доказали, что $MN=l$. Поэтому $$d-\tau(d-b)=l,\qquad \tau(d-b)=d-l,\qquad \tau=\frac{d-l}{d-b}.$$ Из $MO=AM=\tau l$ следует, что точка $O$ находится на $\tau l$ правее $M$: $$O=(\tau(q+l);\tau h).$$ Вычислим квадрат длины $AO$ по координатам: $$AO^2=\tau^2(q+l)^2+\tau^2h^2=\tau^2(q^2+2ql+l^2+h^2).$$ Заменяем $q^2+h^2$ на $l^2$: $$AO^2=\tau^2(2l^2+2ql)=2l(l+q)\tau^2.$$ Аналогично $NO=CN=(1-\tau)l$, а вертикальный перепад от $C$ до $O$ равен $(1-\tau)h$. Горизонтальный перепад равен $(1-\tau)(l-q)$; поэтому $$CO^2=(1-\tau)^2((l-q)^2+h^2)=2l(l-q)(1-\tau)^2.$$ Все длины положительны, поэтому $AO=CO$ равносильно равенству их квадратов. Сокращаем общий положительный множитель $2l$ и подставляем $\tau$; при этом $$1-\tau=1-\frac{d-l}{d-b}=\frac{d-b-d+l}{d-b}=\frac{l-b}{d-b}.$$ Получаем $$(d-l)^2(l+q)=(l-b)^2(l-q).$$ Переносим правую часть влево и группируем слагаемые при $l$ и $q$: $$l((d-l)^2-(l-b)^2)+q((d-l)^2+(l-b)^2)=0.$$ В первой скобке применяем разность квадратов, во второй раскрываем оба квадрата: $$ (d-l)^2-(l-b)^2=(d-b)(d+b-2l),$$ $$ (d-l)^2+(l-b)^2=d^2+b^2-2l(d+b)+2l^2.$$ Подставляем $q=(d-b)/2$ и делим равенство на ненулевое $d-b$: $$l(d+b-2l)+\frac{d^2+b^2-2l(d+b)+2l^2}{2}=0.$$ Умножаем на 2 и раскрываем скобки: $$2l(d+b)-4l^2+d^2+b^2-2l(d+b)+2l^2=0.$$ Слагаемые $2l(d+b)$ и $-2l(d+b)$ уничтожаются; $-4l^2+2l^2=-2l^2$. Поэтому $$d^2+b^2-2l^2=0,\qquad l^2=\frac{d^2+b^2}{2}.$$ Шаг 4. Используем отношение $AM:MB=1:2$. Сторона $AB$ состоит из одной части $AM$ и двух частей $MB$, всего из трёх одинаковых частей. Поэтому $\tau=AM/AB=1/3$. Из формулы для сечения: $$l=d-\frac{d-b}{3}=\frac{3d-d+b}{3}=\frac{2d+b}{3}.$$ Подставляем это в равенство $2l^2=d^2+b^2$: $$2\left(\frac{2d+b}{3}\right)^2=d^2+b^2.$$ Умножаем на 9, раскрываем квадрат суммы, затем скобки: $$2(2d+b)^2=9d^2+9b^2,$$ $$2(4d^2+4db+b^2)=9d^2+9b^2,$$ $$8d^2+8db+2b^2=9d^2+9b^2.$$ Переносим всё вправо: $$d^2-8db+7b^2=0.$$ Чтобы получить отношение, делим на $b^2>0$ и обозначаем $z=d/b$: $$z^2-8z+7=0.$$ Дискриминант $D=(-8)^2-4\cdot1\cdot7=64-28=36$, $\sqrt D=6$. Корни: $$z_1=\frac{8-6}{2}=1,\qquad z_2=\frac{8+6}{2}=7.$$ При $z=1$ основания были бы равны и $l=(2d+b)/3=b$. Тогда $q=0$, а из $l^2=q^2+h^2$ следовало бы $h=b$: получился бы квадрат. Биссектрисы двух противоположных углов квадрата лежат на одной диагонали и не задают единственную точку пересечения $O$. Для данной трапеции с пересекающимися биссектрисами этот вырожденный случай не подходит. Остаётся $d/b=7$. Значит, $BC:AD=b:d=1:7$. Проверка: $l=(2\cdot7b+b)/3=5b$, и $2l^2=50b^2=b^2+49b^2$. Ответ: а) длина сечения равна боковой стороне; б) $BC:AD=1:7$.