В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD=15$ и $AC=2\sqrt{61}$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) отрезки 5 и 10; б) 6
Решение
а) Покажем, как высота делит большее основание.
Опустим также высоту из $B$ на $AD$ и обозначим её основание через $K$. Четырёхугольник $KBCH$ — прямоугольник, поэтому:
$$KH=BC.$$
Боковые прямоугольные треугольники $AKB$ и $DHC$ равны по гипотенузе и катету: боковые стороны равнобедренной трапеции равны, а её высоты одинаковы. Поэтому:
$$AK=HD.$$
Обозначим $BC=b$. По условию $AD=3b$. Вычтем длину верхнего основания из нижнего:
$$AK+HD=AD-KH=3b-b=2b.$$
Так как эти два отрезка равны, каждый составляет половину $2b$:
$$AK=HD=b.$$
Тогда:
$$AH=AK+KH=b+b=2b.$$
Итак, $AH=2HD$: высота делит основание на отрезки в отношении $2:1$.
б) Пусть $M$ — середина диагонали $BD$. Нужно найти $CM$. Используем прямоугольный треугольник для нахождения высоты, затем вычислим положение середины.
Из $AD=15$ и $AD=3BC$ получаем:
$$BC=15/3=5.$$
В пункте а) найдены выступы основания: $AK=HD=5$. Поэтому можно выбрать координаты:
$$A=(0;0),\quad D=(15;0),\quad B=(5;h),\quad C=(10;h).$$
Здесь первая координата $C$ равна $15-5=10$, а $h$ — высота трапеции. По теореме Пифагора для диагонали $AC$:
$$AC^2=10^2+h^2.$$
По условию $AC=2\sqrt{61}$. При возведении произведения в квадрат возводим в квадрат каждый множитель:
$$AC^2=(2\sqrt{61})^2=2^2\cdot(\sqrt{61})^2=4\cdot61=244.$$
Следовательно:
$$244=100+h^2,$$
$$h^2=244-100=144,$$
$$h=12.$$
Выбираем положительный корень, поскольку высота положительна. Теперь найдём середину $BD$: каждую координату концов сложим и разделим на 2.
$$M=\left(\frac{5+15}{2};\frac{12+0}{2}\right)=(10;6).$$
Точка $C=(10;12)$ имеет ту же первую координату, поэтому $CM$ — вертикальный отрезок. Его длина равна разности вторых координат:
$$CM=12-6=6.$$
Ответ: а) отношение $2:1$; б) расстояние равно 6.