Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ $—$ биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6,5$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $5$.
Решение
а) Сначала используем информацию о двух равнобедренных треугольниках. У треугольника $ABD$ основание — $AD$, поэтому равны две остальные стороны:
$$AB=BD.$$
У треугольника $BCD$ основание — $CD$, поэтому:
$$BC=BD.$$
Объединяем эти равенства:
$$AB=BC=BD.$$
Таким образом, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Его углы при основании равны:
$$\angle BAC=\angle ACB.$$
Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD$. При секущей $AC$ накрест лежащие углы равны:
$$\angle ACB=\angle CAD.$$
Значит:
$$\angle BAC=\angle CAD.$$
Это и означает, что луч $AC$ делит угол $BAD$ на две равные части, то есть является его биссектрисой.
б) Найдём боковую сторону $CD$ по двум диагоналям. Координаты помогут получить равенство, связывающее эти три отрезка.
Обозначим $BD=r$, $AD=d$, высоту трапеции через $h$. Из $AB=BD$ следует, что точка $B$ одинаково удалена от $A$ и $D$. Поэтому её проекция на $AD$ — середина этого основания. Разместим $A,D$ на горизонтальной оси:
$$A=(0;0),\quad D=(d;0),\quad B=(d/2;h).$$
Длина горизонтального верхнего основания $BC$ равна $BD=r$, поэтому:
$$C=(d/2+r;h).$$
Сначала выразим высоту через $r,d$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB=r$ и катетами $d/2,h$ по теореме Пифагора:
$$r^2=(d/2)^2+h^2.$$
Вычтем $d^2/4$ из обеих частей:
$$h^2=r^2-d^2/4.$$
Теперь по формуле расстояния между точками:
$$AC^2=(d/2+r)^2+h^2.$$
Раскроем квадрат суммы и подставим найденное $h^2$:
$$AC^2=d^2/4+dr+r^2+r^2-d^2/4=2r^2+dr.$$
Аналогично разность первых координат $C,D$ равна $(d/2+r)-d=r-d/2$, поэтому:
$$CD^2=(r-d/2)^2+h^2,$$
$$CD^2=r^2-rd+d^2/4+r^2-d^2/4=2r^2-rd.$$
Сложим два равенства. Члены $dr$ и $-rd$ взаимно уничтожаются:
$$AC^2+CD^2=(2r^2+dr)+(2r^2-rd)=4r^2.$$
Так как $r=BD$, получаем формулу именно для искомой стороны:
$$CD^2=4BD^2-AC^2.$$
Подставим данные условия:
$$CD^2=4\cdot(\frac{13}{2})^2-12^2.$$
Вычислим квадраты:
$$CD^2=4\cdot\frac{169}{4}-144=169-144=25.$$
Длина стороны положительна, поэтому берём положительный квадратный корень:
$$CD=\sqrt{25}=5.$$
Ответ: а) доказано; б) $CD=5$.