Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N,$ причём $AM:MC=1:2,$ $BN:ND=1:3.$
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4.$
б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $6$.
Решение
Нужно связать положение точек на диагоналях с перпендикулярностью к стороне. Выберем координаты вдоль диагоналей, чтобы середина ромба была началом координат.
Шаг 1. Найдём координаты точек и соотношение диагоналей.
Расположим диагонали ромба на осях координат. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому можно взять
$$A=(-u;0),\quad C=(u;0),\quad B=(0;v),\quad D=(0;-v),\qquad u,v>0.$$
Точка $M$ делит $AC$ в отношении $1:2$: от $A$ до неё одна треть всей диагонали. Поэтому $x_M=-u+(2u)/3=-u/3$, $y_M=0$. Точка $N$ находится на четверти пути от $B$ к $D$: $y_N=v+(-2v)/4=v/2$, $x_N=0$. Значит,
$$M=(-u/3;0),\qquad N=(0;v/2).$$
Вычитая координаты, получаем направления $\overrightarrow{MN}=(u/3;v/2)$ и $\overrightarrow{BC}=(u;-v)$. По условию они перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение ноль:
$$\frac u3\cdot u+\frac v2\cdot(-v)=0,$$
$$\frac{u^2}3-\frac{v^2}2=0,\qquad2u^2=3v^2,\qquad u^2=\frac32v^2.$$
Эту связь используем при вычислении длин.
Шаг 2. Найдём, как прямая $MN$ делит $BC$.
Уравнение $MN$: $3x/u-2y/v=-1$. Проверяем: при $M$ левая часть $-1$, при $N$ — тоже $-1$.
Пусть $T$ — пересечение с $BC$, а $t=BT/BC$ — доля стороны от $B$. Тогда координаты $T$ равны $(ut;v(1-t))$: горизонтальная координата увеличивается от 0 до $u$, вертикальная уменьшается от $v$ до 0. Подставляем в уравнение:
$$3\frac{ut}{u}-2\frac{v(1-t)}v=-1,$$
$$3t-2(1-t)=-1,\qquad3t-2+2t=-1,\qquad5t=1,\qquad t=1/5.$$
Следовательно, $BT$ занимает одну пятую стороны, $TC$ — остальные четыре пятых. Поэтому $BT:TC=1:4$. Пункт а доказан.
Шаг 3. Используем длину $MN$.
Разности координат его концов равны $u/3$ и $v/2$, поэтому
$$MN^2=\frac{u^2}9+\frac{v^2}4=\frac{3v^2/2}9+\frac{v^2}4=\frac{v^2}6+\frac{v^2}4=\frac{2v^2+3v^2}{12}=\frac{5v^2}{12}.$$
По условию $MN^2=6$. Умножаем на 12 и делим на 5:
$$5v^2=72,\qquad v^2=\frac{72}{5}.$$
$$u^2=\frac32\cdot\left(\frac{72}{5}\right)=\frac{108}{5}.$$
Проверка: $u^2/9+v^2/4=(\frac{108}{5})/9+(\frac{72}{5})/4=6$, как требовалось.
Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $u,v$:
$$AB=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{\frac{108}5+\frac{72}5}=\sqrt{\frac{180}5}=\sqrt{36}=6.$$
Ответ: а) $BT:TC=1:4$; б) сторона равна6.