ФИПИ FC6FD7 — Четырехугольники и их свойства

Нужно доказать произведение длин и найти $EL$. Разделим угол при $A$ на известные доли, выберем диагональ $AC$ горизонтальной и используем сумму векторов соседних сторон параллелограмма. Шаг 1. Свяжем стороны и угол. Пусть $\angle CAD=\theta$, тогда $\angle BAC=2\theta$. Обозначим $AC=c$, $AB=p$, $AD=BC=q$. Выберем $$A=(0;0),\quad C=(c;0),\quad B=(p\cos2\theta;p\sin2\theta),$$ $$D=(q\cos\theta;-q\sin\theta).$$ Знаки вертикальных координат разные: $B$ и $D$ лежат по разные стороны диагонали. По свойству параллелограмма $B+D=C$. Для вертикальных координат: $$p\sin2\theta-q\sin\theta=0.$$ Используем $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ и делим на $\sin\theta>0$: $$q=2p\cos\theta.$$ Для горизонтальных координат: $$c=p\cos2\theta+q\cos\theta=p(2\cos^2\theta-1)+2p\cos^2\theta=p(4\cos^2\theta-1).$$ Шаг 2. Найдём длину биссектрисы $AL$. Пусть $AL=r$. Биссектриса угла $BAC=2\theta$ направлена под углом $\theta$ к $AC$, поэтому $L=(r\cos\theta;r\sin\theta)$. С другой стороны, $L$ лежит на $BC$, а вектор $BC$ равен вектору $AD$. Поэтому $L=B+tD$ для некоторого $0<t<1$. Вертикальная координата даёт $$r\sin\theta=p\sin2\theta-tq\sin\theta.$$ Заменяя $p\sin2\theta$ на $q\sin\theta$ и деля на $\sin\theta$: $$r=q(1-t).$$ Горизонтальная координата: $$r\cos\theta=p\cos2\theta+tq\cos\theta.$$ Подставляем $r=q(1-t)$ и переносим последнее слагаемое: $$q(1-2t)\cos\theta=p\cos2\theta.$$ Заменяем $q=2p\cos\theta$ и $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$, делим на $p>0$: $$2(1-2t)\cos^2\theta=2\cos^2\theta-1.$$ Раскрываем: $2\cos^2\theta-4t\cos^2\theta=2\cos^2\theta-1$. Сокращаем одинаковые части: $$4t\cos^2\theta=1,\qquad t=\frac1{4\cos^2\theta}.$$ Теперь $$r=2p\cos\theta\left(1-\frac1{4\cos^2\theta}\right)=\frac{p(4\cos^2\theta-1)}{2\cos\theta}=\frac c{2\cos\theta}.$$ Следовательно, $$AL\cdot BC=rq=\frac c{2\cos\theta}\cdot2p\cos\theta=cp=AB\cdot AC.$$ Пункт а доказан. Шаг 3. Вычислим координаты при заданном тангенсе. Из $BC\parallel AD$ следует $\angle BCA=\theta$. По условию $\tan\theta=1/2$. В прямоугольном треугольнике с противолежащим катетом1 и прилежащим2 гипотенуза $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$. Поэтому $$\sin\theta=1/\sqrt5,\quad\cos\theta=2/\sqrt5.$$ По формулам двойного угла: $$\cos2\theta=\frac45-\frac15=\frac35,\qquad\sin2\theta=2\cdot\frac1{\sqrt5}\cdot\frac2{\sqrt5}=\frac45.$$ Подставляем $c=8$ в $c=p(4\cos^2\theta-1)$: $$8=p(16/5-1)=11p/5,\qquad p=40/11.$$ Значит, $B=(p\cdot3/5;p\cdot4/5)=(24/11;32/11)$. Из $B+D=C$ следует $D=(8-24/11;-32/11)=(64/11;-32/11)$. Для биссектрисы: $$r=\frac8{2\cdot2/\sqrt5}=2\sqrt5,$$ $$L=(2\sqrt5\cdot2/\sqrt5;2\sqrt5\cdot1/\sqrt5)=(4;2).$$ Шаг 4. Найдём точку $E$ по условию $AE=CE$. Прямая $CD$ параллельна $AB$, а $D=C-B$. Точка за $D$ имеет вид $E=C-uB$, где $u>1$. Тогда $CE=u|B|=up$. По формуле квадрата длины $AE^2=|C-uB|^2=c^2-2cuB_x+u^2p^2$. Равенство $AE^2=CE^2=u^2p^2$ даёт $$c^2-2cuB_x=0,\qquad c=2uB_x,\qquad u=\frac c{2B_x}.$$ Подставляем $c=8$, $B_x=24/11$: $$u=8/(48/11)=8\cdot11/48=11/6>1.$$ Значит, точка находится именно на требуемом продолжении. Её координаты: $$E=(8-(11/6)(24/11);-(11/6)(32/11))=(8-4;-32/6)=(4;-16/3).$$ Шаг 5. Найдём $EL$. У $E$ и $L$ одинаковая горизонтальная координата4, поэтому расстояние — модуль разности вертикальных координат: $$EL=|2-(-16/3)|=2+16/3=6/3+16/3=22/3.$$ Проверка равенства $AE=CE$: $AE^2=4^2+(16/3)^2=16+256/9=400/9$, поэтому $AE=20/3$; $CE=up=(11/6)(40/11)=20/3$. Ответ: а) произведения равны; б) $EL=22/3$.