В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ,$ причём точка $P$ лежит на стороне $AD,$ а точка $Q$ $—$ на стороне $CD.$ На стороне $AD$ отмечена точка $M.$ Известно, что $AM=BP,$ $AB=BQ.$
а) Докажите, что $BM=PQ.$
б) Найдите площадь треугольника $APQ,$ если $AM=BP=8,$ $AB=BQ=10.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $6$.
Решение
Нужно доказать $BM=PQ$ и найти площадь $APQ$. Известны высоты параллелограмма и равенство одной высоты стороне. Поэтому сначала найдём координаты основания второй высоты.
Шаг 1. Выразим длину основания параллелограмма.
Выберем $A=(0;0)$, $D=(d;0)$, $B=(p;h)$, $C=(d+p;h)$. Поскольку угол $BAD$ острый, $p>0$; высота $h>0$. Основание высоты из $B$ на $AD$ — $P=(p;0)$, и $BP=h$.
Пусть $AB=l$. По теореме Пифагора
$$l^2=p^2+h^2.$$
Площадь параллелограмма по основанию $AD$ равна $dh$. По основанию $AB$ она равна $AB\cdot BQ$: прямая $CD$ параллельна $AB$, поэтому $BQ$ — расстояние между этими прямыми. По условию $BQ=AB=l$, значит,
$$dh=l\cdot l=l^2,\qquad d=\frac{l^2}{h}.$$
Шаг 2. Найдём координаты $Q$.
Точка на стороне $DC$ имеет вид $D+t(C-D)=(d+tp;th)$. Направляющий вектор $DC$ — $(p;h)$, вектор $BQ$ — $(d+tp-p;th-h)$. Они перпендикулярны, поэтому скалярное произведение ноль:
$$p(d+tp-p)+h(th-h)=0.$$
Раскрываем скобки:
$$pd+tp^2-p^2+th^2-h^2=0,$$
$$t(p^2+h^2)=(p^2+h^2)-pd.$$
Используем $p^2+h^2=l^2$ и делим на $l^2>0$:
$$t=1-\frac{pd}{l^2}=1-\frac{p(l^2/h)}{l^2}=1-\frac ph.$$
Подставляем в координаты:
$$x_Q=d+tp=\frac{p^2+h^2}{h}+p-\frac{p^2}{h}=p+h,$$
$$y_Q=th=h-p.$$
Следовательно, $Q=(p+h;h-p)$.
Шаг 3. Докажем равенство отрезков.
Из $AM=BP=h$ и положения $M$ на горизонтальном $AD$ получаем $M=(h;0)$. Тогда
$$BM^2=(h-p)^2+(0-h)^2=(h-p)^2+h^2.$$
А для $P=(p;0)$ и $Q=(p+h;h-p)$:
$$PQ^2=(p+h-p)^2+(h-p-0)^2=h^2+(h-p)^2.$$
Квадраты длин одинаковы. Длины положительны, поэтому $BM=PQ$. Пункт а доказан.
Шаг 4. Подставим числовые данные.
Теперь $h=BP=8$, $l=AB=10$. Из $p^2+h^2=l^2$:
$$p^2=10^2-8^2=100-64=36.$$
Берём положительный корень, потому что $p>0$: $p=6$. Значит,
$$P=(6;0),\qquad Q=(6+8;8-6)=(14;2).$$
В треугольнике $APQ$ горизонтальное основание $AP=6$, высота из $Q$ к его прямой равна вертикальной координате $Q$, то есть2. Поэтому
$$S_{APQ}=\frac12\cdot6\cdot2=6.$$
Проверка: $d=l^2/h=100/8=25/2$, $t=1-6/8=1/4$, значит, $Q$ действительно на стороне $DC$. Кроме того, $BQ=(14-6;2-8)=(8;-6)$, его длина $\sqrt{8^2+6^2}=10=AB$, как задано.
Ответ: а) $BM=PQ$; б) $S_{APQ}=6$.