ФИПИ 4E19FD — Четырехугольники и их свойства

Нужно доказать, что $M$ равноудалена от концов основания $AD$, затем найти угол $BAD$. Два прямых угла дадут два уравнения; их разность определит положение $M$ по горизонтали. Шаг 1. Запишем координаты и условия прямых углов. Пусть $BC=b>0$, тогда $AD=2b$. Выберем $A=(0;0)$, $D=(2b;0)$, $B=(u;h)$, $C=(u+b;h)$, $M=(p;q)$, где $h>0$. Из $AB\perp BM$ скалярное произведение направлений $(u;h)$ и $(p-u;q-h)$ равно нулю: $$u(p-u)+h(q-h)=0,$$ $$up-u^2+hq-h^2=0,\qquad up+hq=u^2+h^2.$$ Из $DC\perp CM$ направления $(u-b;h)$ и $(p-u-b;q-h)$ также дают ноль: $$(u-b)(p-u-b)+h(q-h)=0.$$ Раскрывая, получаем $(u-b)p-(u-b)(u+b)+hq-h^2=0$. Здесь $(u-b)(u+b)=u^2-b^2$, поэтому $$(u-b)p+hq=u^2-b^2+h^2.$$ Вычитаем это уравнение из первого: $$up-(u-b)p=(u^2+h^2)-(u^2-b^2+h^2),$$ $$bp=b^2,\qquad p=b.$$ Точка $M$ имеет горизонтальную координату середины $AD$. Следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к $AD$ и $AM=DM$. Можно проверить и по квадратам: $AM^2=b^2+q^2=DM^2$. Пункт а доказан. Шаг 2. Используем расстояние до $AD$. Основание $AD$ лежит на оси $x$, точка $M$ внутри трапеции, поэтому её расстояние до основания равно положительной координате $q$. По условию $q=BC=b$. Подставляем $p=q=b$ в первое уравнение: $$ub+hb=u^2+h^2.$$ Делим на $b^2$ и вводим безразмерные $U=u/b$, $H=h/b$: $$U+H=U^2+H^2.$$ Шаг 3. Используем угол при $D$. Угол $ADC=70^\circ$ острый, значит, горизонтальный отступ от $D$ к $C$ направлен влево и равен $2b-(u+b)=b-u$. В соответствующем прямоугольном треугольнике $$\cot70^\circ=\frac{b-u}{h}=\frac{1-U}{H}.$$ Обозначим $c=\cot70^\circ=\tan20^\circ$. Тогда $1-U=cH$, то есть $U=1-cH$. Подставляем в $U^2+H^2=U+H$: $$(1-cH)^2+H^2=1-cH+H.$$ Раскрываем квадрат и переносим всё влево: $$1-2cH+c^2H^2+H^2-1+cH-H=0,$$ $$(1+c^2)H^2-(c+1)H=0.$$ Высота $H$ положительна, поэтому делим на $H$: $$H=\frac{1+c}{1+c^2}.$$ Возвращаемся к $U=1-cH$: $$U=\frac{1+c^2-c(1+c)}{1+c^2}=\frac{1+c^2-c-c^2}{1+c^2}=\frac{1-c}{1+c^2}.$$ Шаг 4. Найдём угол при $A$. Поскольку $0<c=\tan20^\circ<1$, оба числа $U,H$ положительны. Значит, $BAD$ — острый угол, и $$\tan\angle BAD=\frac hu=\frac HU=\frac{1+c}{1-c}.$$ Формула тангенса суммы: $$\tan(45^\circ+20^\circ)=\frac{\tan45^\circ+\tan20^\circ}{1-\tan45^\circ\tan20^\circ}=\frac{1+c}{1-c}.$$ Острые углы с одинаковыми тангенсами равны, следовательно, $\angle BAD=65^\circ$. Проверка положения $M$: $H-1=(c-c^2)/(1+c^2)>0$, поэтому $h>b=q$; точка с требуемым расстоянием действительно ниже верхнего основания. Ответ: а) $AM=DM$; б) $65^\circ$.