В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ $—$ точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC=16$ и $AB=10$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $3:1$; б) $4$.
Решение
а) Опустим из $B$ высоту $BK$ на основание $AD$. Отрезок $KH$ между основаниями высот равен верхнему основанию $BC$: это противоположные стороны прямоугольника $KBCH$.
Обозначим $BC=b$. По условию $AD=2b$. Два выступа большего основания имеют суммарную длину:
$$AK+HD=AD-KH=2b-b=b.$$
В равнобедренной трапеции они равны: прямоугольные треугольники у боковых сторон равны по гипотенузе и высоте. Значит:
$$AK=HD=b/2.$$
Оставшаяся часть основания:
$$AH=AK+KH=b/2+b=3b/2.$$
Разделим её на $HD$:
$$\frac{AH}{HD}=\frac{3b/2}{b/2}=3.$$
Следовательно, один из двух отрезков втрое больше другого.
б) По данным $BC=16$ и $AD=2BC$:
$$AD=2\cdot16=32.$$
Длина выступа равна:
$$AK=HD=16/2=8.$$
Пусть $h$ — высота. В прямоугольном треугольнике $AKB$ гипотенуза $AB=10$, а горизонтальный катет $AK=8$. По теореме Пифагора:
$$h^2=10^2-8^2=100-64=36,$$
$$h=6.$$
Разместим основание горизонтально. Координаты вершин:
$$A=(0;0),\quad D=(32;0),\quad B=(8;6),\quad C=(24;6).$$
Первая координата $C$ равна $32-8=24$. Теперь найдём пересечение диагоналей $O$. Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны: углы при $O$ вертикальные, а ещё две пары углов равны как накрест лежащие при параллельных основаниях. Соответствующие стороны поэтому относятся как основания:
$$\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{32}{16}=2.$$
Значит, $AC$ состоит из трёх равных по отношению частей, и $AO$ занимает две из них. Координаты $O$ на отрезке от $(0;0)$ до $(24;6)$ равны двум третям координат $C$:
$$O=\left(\frac23\cdot24;\frac23\cdot6\right)=(16;4).$$
Обозначим середину $OD$ через $M$. Найдём полусуммы координат его концов:
$$M=\left(\frac{16+32}{2};\frac{4+0}{2}\right)=\left(\frac{48}{2};\frac42\right)=(24;2).$$
У точек $C=(24;6)$ и $M=(24;2)$ одинаковые первые координаты. Поэтому расстояние равно разности вторых координат:
$$CM=6-2=4.$$
Ответ: а) отношение $3:1$; б) расстояние равно 4.