Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $∠ABM=∠DB\text{С}=30^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC=9$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{3\sqrt{21}}{14}$.
Решение
Нужно использовать два условия на $M$: перпендикулярность $BM$ диагонали и равенство $MB=MD$. Они дадут пропорции сторон прямоугольника. После этого найдём расстояние до прямой $CM$ по координатам.
Шаг 1. Свяжем стороны прямоугольника.
Пусть $A=(0;0)$, $B=(p;0)$, $C=(p;q)$, $D=(0;q)$, $M=(0;m)$, где $0<m<q$. Значит, $p=AB$, $q=BC$, $m=AM$.
Направления $BM=(-p;m)$ и $AC=(p;q)$ перпендикулярны. Их скалярное произведение ноль:
$$(-p)p+mq=0,\qquad mq=p^2.$$
По условию $MB=MD$, где $MD=q-m$. Возводим обе положительные длины в квадрат:
$$p^2+m^2=(q-m)^2=q^2-2qm+m^2.$$
Вычитаем $m^2$ из обеих частей, затем заменяем $qm$ на $p^2$:
$$p^2=q^2-2qm=q^2-2p^2,\qquad 3p^2=q^2.$$
Длины положительны, поэтому $q=\sqrt3p$. Из $mq=p^2=q^2/3$ следует $m=q/3$.
Шаг 2. Найдём углы.
В прямоугольном треугольнике $ABM$:
$$\tan\angle ABM=\frac{AM}{AB}=\frac mp=\frac{q}{3p}=\frac{\sqrt3}{3}=\frac1{\sqrt3}.$$
В прямоугольном треугольнике $BCD$:
$$\tan\angle DBC=\frac{CD}{BC}=\frac pq=\frac1{\sqrt3}.$$
Оба угла острые, поэтому каждый равен $30^\circ$. Пункт а доказан.
Шаг 3. Найдём координаты центра и уравнение $CM$.
По условию $q=9$. Тогда $p=q/\sqrt3=9\sqrt3/3=3\sqrt3$, $m=q/3=3$. Центр прямоугольника — середина диагонали $AC$:
$$O=(3\sqrt3/2;9/2).$$
Прямая через $C=(3\sqrt3;9)$ и $M=(0;3)$ имеет наклон $(9-3)/(3\sqrt3-0)=6/(3\sqrt3)=2/\sqrt3$. Поэтому
$$y=\frac2{\sqrt3}x+3,\qquad2x-\sqrt3y+3\sqrt3=0.$$
Шаг 4. Найдём перпендикулярное расстояние.
Для прямой $ax+by+c=0$ расстояние от $(x_0;y_0)$ равно $|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}$. Знаменатель — длина перпендикулярного прямой вектора $(a;b)$; деление на неё переводит значение левой части в длину.
Здесь $a=2$, $b=-\sqrt3$, $c=3\sqrt3$. Подставляем:
$$d=\frac{|2(3\sqrt3/2)-\sqrt3(9/2)+3\sqrt3|}{\sqrt{2^2+(-\sqrt3)^2}}.$$
В числителе: $3\sqrt3-9\sqrt3/2+3\sqrt3=6\sqrt3-9\sqrt3/2=(12\sqrt3-9\sqrt3)/2=3\sqrt3/2$. В знаменателе: $\sqrt{4+3}=\sqrt7$. Поэтому
$$d=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt7}=\frac{3\sqrt3\sqrt7}{2\cdot7}=\frac{3\sqrt{21}}{14}.$$
Проверка условий при найденных длинах: $mq=3\cdot9=27=p^2$, а $MB^2=p^2+m^2=27+9=36=MD^2=(9-3)^2$.
Ответ: а) оба угла равны $30^\circ$; б) расстояние $3\sqrt{21}/14$.