ФИПИ 34E1B6 — Четырехугольники и их свойства

Нужно доказать, что диагонали перпендикулярны, и найти высоту. Известны две диагонали и сумма оснований. Построим треугольник, стороны которого будут равны именно этим трём известным величинам. Шаг 1. Выполним вспомогательное построение. Обозначим параллельные основания трапеции через $AB$ и $CD$. Через $C$ проведём прямую, параллельную $BD$, до пересечения с продолжением $AB$ за $B$ в точке $E$. Тогда $BE\parallel CD$, поскольку $BE$ лежит на прямой основания. По построению $CE\parallel BD$. Значит, четырёхугольник $DCEB$ — параллелограмм. Его противоположные стороны равны: $BE=CD$, $CE=BD$. Так как $E$ находится за $B$: $$AE=AB+BE=AB+CD=13.$$ Другие стороны треугольника $ACE$ — диагональ $AC$ и отрезок $CE$, равный диагонали $BD$. Поэтому их длины равны 5 и 12. Шаг 2. Применим обратную теорему Пифагора. Вычисляем квадраты: $$5^2=25,\qquad 12^2=144,\qquad 13^2=169.$$ Их сумма удовлетворяет равенству $$25+144=169.$$ Если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, угол напротив наибольшей стороны прямой. Здесь наибольшая сторона $AE=13$, значит, прямой угол находится при $C$: $$AC\perp CE.$$ Но $CE\parallel BD$, поэтому $AC\perp BD$. Пункт а доказан. Шаг 3. Вычислим высоту через две формулы площади. В прямоугольном треугольнике $ACE$ катеты равны 5 и 12. Поэтому $$S_{ACE}=\frac{5\cdot12}2=\frac{60}2=30.$$ Высота из $C$ к прямой $AE$ — это и высота трапеции $h$: прямая $AE$ совпадает с одним основанием, а $C$ находится на другом. По основанию $AE$ площадь того же треугольника равна $$S_{ACE}=\frac{AE\cdot h}2=\frac{13h}2.$$ Приравниваем две формулы площади и умножаем на 2: $$\frac{13h}2=\frac{60}2,\qquad 13h=60.$$ Делим на 13: $$h=\frac{60}{13}=\frac{60}{13}.$$ Проверка: $13h/2=13\cdot(\frac{60}{13})/2=30$, совпадает с площадью по катетам. Ответ: а) диагонали перпендикулярны; б) $h=\frac{60}{13}$.