В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K.$
а) Докажите, что $∠ BKM=45^{\circ}.$
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK,$ если сторона $AB=2\sqrt{10}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $R=\frac{10}3$.
Решение
Нужно найти угол между двумя отрезками и радиус окружности треугольника $ABK$. Возьмём координаты вдоль сторон квадрата: середины и пересечение прямых тогда найдём из простых линейных уравнений.
Шаг 1. Найдём $K$.
Обозначим сторону квадрата через $s>0$. Положим $A=(0;0)$, $B=(s;0)$, $C=(s;s)$, $D=(0;s)$. Середины: $M=(s/2;0)$, $N=(s;s/2)$.
Прямая $CM$ поднимается на $s$ при увеличении $x$ на $s/2$, поэтому её наклон $s/(s/2)=2$; через $M$ её уравнение $y=2(x-s/2)=2x-s$.
Прямая $DN$ при увеличении $x$ на $s$ опускается на $s/2$, поэтому наклон $-1/2$, уравнение $y=s-x/2$.
В точке пересечения значения $y$ одинаковы:
$$2x-s=s-x/2.$$
Умножаем на 2: $4x-2s=2s-x$. Переносим: $5x=4s$, значит, $x=4s/5$. Тогда $y=2\cdot4s/5-s=8s/5-5s/5=3s/5$. Итак, $K=(4s/5;3s/5)$.
Шаг 2. Вычислим угол $BKM$.
Направления лучей из $K$:
$$\overrightarrow{KB}=(s/5;-3s/5),$$
$$\overrightarrow{KM}=(s/2-4s/5;-3s/5)=(-3s/10;-3s/5).$$
Их скалярное произведение:
$$\frac s5\left(-\frac{3s}{10}\right)+\left(-\frac{3s}5\right)\left(-\frac{3s}5\right)=-\frac{3s^2}{50}+\frac{9s^2}{25}=\frac{15s^2}{50}=\frac{3s^2}{10}.$$
Длины векторов по теореме Пифагора:
$$KB=\sqrt{s^2/25+9s^2/25}=s\sqrt{10}/5,$$
$$KM=\sqrt{9s^2/100+9s^2/25}=\sqrt{45s^2/100}=3s\sqrt5/10.$$
Косинус угла равен скалярному произведению, делённому на произведение длин:
$$\cos\angle BKM=\frac{3s^2/10}{(s\sqrt{10}/5)(3s\sqrt5/10)}=\frac{3s^2/10}{3s^2\sqrt{50}/50}=\frac5{\sqrt{50}}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2.$$
Такой косинус у угла $45^\circ$. Пункт а доказан.
Шаг 3. Найдём стороны и площадь треугольника $ABK$.
$$AK=\sqrt{(4s/5)^2+(3s/5)^2}=\sqrt{16s^2/25+9s^2/25}=s.$$
Другие стороны: $AB=s$, $BK=s\sqrt{10}/5$. Высота к горизонтальной стороне $AB$ — вертикальная координата $K$, то есть $3s/5$. Поэтому
$$S_{ABK}=\frac12\cdot s\cdot\frac{3s}5=\frac{3s^2}{10}.$$
Для описанной окружности треугольника $R=abc/(4S)$. Эта формула следует из $S=ab\sin C/2$ и $c=2R\sin C$. Подставляем:
$$R=\frac{s\cdot s\cdot(s\sqrt{10}/5)}{4\cdot3s^2/10}=\frac{s^3\sqrt{10}}5\cdot\frac{10}{12s^2}=\frac{s\sqrt{10}}6.$$
При $s=2\sqrt{10}$:
$$R=\frac{2\sqrt{10}\sqrt{10}}6=\frac{2\cdot10}6=\frac{10}3.$$
Проверка $K$ в прямых: $2\cdot4s/5-s=3s/5$, $s-(4s/5)/2=3s/5$.
Ответ: а) $45^\circ$; б) $R=10/3$.