На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки ${C}_{1}$, ${A}_{1}$ и ${B}_{1}$ соответственно, причём $A{C}_{1}:{C}_{1}B=21:10$, $B{A}_{1}:{A}_{1}C=2:3$, $A{B}_{1}:{B}_{1}C=2:5$. Отрезки $B{B}_{1}$ и $C{C}_{1}$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что четырёхугольник $AD{A}_{1}{B}_{1}$ $—$ параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=63$, $BC=25$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $27$.
Решение
Нужно доказать, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм, и найти $CD$. Поскольку точки заданы отношениями на сторонах, используем векторы с началом в $A$: коэффициенты будут означать доли пути по сторонам.
Шаг 1. Запишем точки деления сторон.
Пусть $A=0$, векторы положения $B=\mathbf b$, $C=\mathbf c$. Векторы $\mathbf b,\mathbf c$ не параллельны, поскольку треугольник невырожден.
Из $AC_1:C_1B=21:10$ следует $C_1=(21/31)\mathbf b$. Из $AB_1:B_1C=2:5$ получаем $B_1=(2/7)\mathbf c$.
Точка $A_1$ находится на доле $2/5$ пути от $B$ к $C$, поэтому
$$A_1=\mathbf b+\frac25(\mathbf c-\mathbf b)=\frac35\mathbf b+\frac25\mathbf c.$$
Шаг 2. Найдём пересечение $D$.
На прямой $BB_1$ точка имеет вид
$$D=\mathbf b+t\left(\frac27\mathbf c-\mathbf b\right)=(1-t)\mathbf b+\frac{2t}7\mathbf c.$$
На прямой $CC_1$:
$$D=\mathbf c+u\left(\frac{21}{31}\mathbf b-\mathbf c\right)=\frac{21u}{31}\mathbf b+(1-u)\mathbf c.$$
Коэффициенты при двух непараллельных векторах должны совпадать:
$$1-t=21u/31,\qquad2t/7=1-u.$$
Из второго $u=1-2t/7$. Подставляем в первое и умножаем на31:
$$31-31t=21-6t,\qquad10=25t,\qquad t=2/5.$$
Тогда $u=1-4/35=31/35$. Значит,
$$D=\frac35\mathbf b+\frac4{35}\mathbf c.$$
Шаг 3. Докажем параллелограмм.
Складываем векторы положения $D$ и $B_1$:
$$D+B_1=\frac35\mathbf b+\left(\frac4{35}+\frac27\right)\mathbf c=\frac35\mathbf b+\frac{14}{35}\mathbf c=\frac35\mathbf b+\frac25\mathbf c=A_1.$$
Поскольку $A=0$, это равенство $A+A_1=D+B_1$. Делим на2: середины диагоналей $AA_1$ и $DB_1$ совпадают. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, он является параллелограммом. Пункт а доказан.
Шаг 4. Используем перпендикулярность $AD$ и $BC$.
Обозначим вектор $\mathbf v=\mathbf c-\mathbf b$, направленный от $B$ к $C$. Тогда $|\mathbf v|=BC=25$, $|\mathbf c|=AC=63$, а $\mathbf b=\mathbf c-\mathbf v$.
Подставляем в найденный вектор $D$:
$$D=\frac35(\mathbf c-\mathbf v)+\frac4{35}\mathbf c=\left(\frac{21}{35}+\frac4{35}\right)\mathbf c-\frac35\mathbf v=\frac57\mathbf c-\frac35\mathbf v.$$
Вектор $AD$ — это $D$. По перпендикулярности его скалярное произведение с $\mathbf v$ равно нулю:
$$\frac57(\mathbf c\cdot\mathbf v)-\frac35|\mathbf v|^2=0.$$
Переносим и делим на $5/7$:
$$\mathbf c\cdot\mathbf v=\frac35\cdot625\cdot\frac75=525.$$
Шаг 5. Найдём длину $CD$.
Можно считать прямо по вектору $D-C$:
$$\overrightarrow{CD}=\left(\frac57-1\right)\mathbf c-\frac35\mathbf v=-\frac27\mathbf c-\frac35\mathbf v.$$
Квадрат длины суммы векторов раскрывается как $|x+y|^2=|x|^2+2x\cdot y+|y|^2$. Поэтому
$$CD^2=\frac4{49}\cdot63^2+\frac9{25}\cdot25^2+\frac{12}{35}(\mathbf c\cdot\mathbf v).$$
Подставляем произведение525 и вычисляем по отдельности:
$$\frac4{49}\cdot3969=4\cdot81=324,$$
$$\frac9{25}\cdot625=9\cdot25=225,$$
$$\frac{12}{35}\cdot525=12\cdot15=180.$$
Складываем: $CD^2=324+225+180=729$, значит, $CD=\sqrt{729}=27$.
Проверка пересечения: параметры $t=2/5$ и $u=31/35$ лежат между0 и1, значит, $D$ находится на обоих заданных отрезках.
Ответ: а) четырёхугольник — параллелограмм; б) $CD=27$.