Угол между скрещивающимися прямыми — задание №14 ЕГЭ по математике

Вначале докажем прямой угол из пункта а). Это не отдельный отвлечённый факт: прямоугольные треугольники позволят затем применять теорему Пифагора и простые формулы площадей. Обозначим через $C$ проекцию точки $C_1$ на основание, в котором лежат $A,B$. Образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям. Поэтому $CC_1$ и $BB_1$ — параллельные вертикальные отрезки одинаковой длины, а $BC=B_1C_1$. Почему $AC$ является диаметром? Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. При проецировании на нижнее основание эта ось переходит в центр круга $O$, а отрезок $AC_1$ — в $AC$. Значит, $O$ лежит на $AC$. Обе точки $A,C$ лежат на окружности, поэтому проходящий через центр отрезок $AC$ — диаметр. а) Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$. По теореме об угле, опирающемся на диаметр, он прямой: $$\angle ABC=90^\circ,\qquad AB\perp BC.$$ Прямая $BB_1$ перпендикулярна основанию. Прямая $AB$ лежит в этом основании и проходит через $B$, поэтому: $$AB\perp BB_1.$$ Прямые $BC$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и лежат в одной плоскости $BCC_1B_1$. Прямая $AB$ перпендикулярна обеим. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости она перпендикулярна всей этой плоскости, а значит, и проходящей через $B$ прямой $BC_1$: $$AB\perp BC_1,\qquad\angle ABC_1=90^\circ.$$ Пункт а) доказан. б) Нужно найти угол между $BB_1$ и $AC_1$. Эти прямые могут не пересекаться, поэтому перенесём направление $BB_1$ параллельно самому себе в точку $C_1$. Прямая $CC_1$ параллельна $BB_1$. Следовательно, искомый острый угол равен углу между $CC_1$ и $AC_1$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ диаметр $AC$ — гипотенуза. Найдём его по двум катетам: $$AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100,$$ $$AC=\sqrt{100}=10.$$ Теперь рассмотрим треугольник $ACC_1$. Он прямоугольный при $C$, потому что $CC_1$ перпендикулярен основанию. Его катеты: $$AC=10,\qquad CC_1=BB_1=15.$$ Обозначим искомый угол при $C_1$ через $\varphi$. Для этого угла противоположный катет — $AC$, а прилежащий — $CC_1$. По определению тангенса: $$\tan\varphi=\frac{AC}{CC_1}=\frac{10}{15}.$$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $$\tan\varphi=\frac23.$$ Запись $\arctan(2/3)$ означает единственный острый угол, тангенс которого равен $2/3$. Следовательно: $$\varphi=\arctan\frac23.$$ Приближённо это $33{,}69^\circ$, но точный ответ — арктангенс. Ответ: а) угол прямой; б) $\arctan\frac23$.

Сначала найдём стороны прямоугольных треугольников. Они нужны и для угла в пункте а), и для вычислений в пункте б). Отрезок $AC$ — диаметр окружности основания, а $B$ лежит на этой окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: $$\angle ABC=90^\circ.$$ В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при $C$ равен 45°. Его противоположный катет — $AB$, гипотенуза — $AC$. По определению синуса: $$\sin 45^\circ=\frac{AB}{AC}.$$ Умножим на $AC$ и разделим на положительное значение синуса: $$AC=\frac{AB}{\sin 45^\circ}.$$ Подставим известные данные и табличное значение синуса: $$AB=2 \sqrt{3},\qquad\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ $$AC=\frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2 \sqrt{6}.$$ Для того же угла прилежащим катетом является $BC$. По определению косинуса: $$\cos 45^\circ=\frac{BC}{AC},$$ $$BC=AC\cos 45^\circ=2 \sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2 \sqrt{3}.$$ Образующая $CC_1$ — высота цилиндра, её длина $h=2 \sqrt{6}$. Поскольку она перпендикулярна основанию, треугольник $ACC_1$ прямоугольный при $C$. По теореме Пифагора: $$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=(2 \sqrt{6})^2+(2 \sqrt{6})^2=24+24=48,$$ $$AC_1=\sqrt{48}=4 \sqrt{3}.$$ а) Найдём угол между $AC_1$ и $BC$. В пространстве прямые могут не пересекаться. Угол между ними определяется углом между их направлениями. Вычислить его удобно через координаты и скалярное произведение. Начало координат поместим в $B$. Ось $x$ направим вдоль $BC$, ось $y$ — вдоль $BA$, ось $z$ — вертикально. Первые две оси перпендикулярны, так как $\angle ABC=90^\circ$. Поэтому: $$B=(0;0;0),\quad C=(2 \sqrt{3};0;0),\quad A=(0;2 \sqrt{3};0),\quad C_1=(2 \sqrt{3};0;2 \sqrt{6}).$$ Вектор от начала отрезка к концу получается вычитанием соответствующих координат: $$u=\overrightarrow{AC_1}=(2 \sqrt{3}-0;0-2 \sqrt{3};2 \sqrt{6}-0)=(2 \sqrt{3};-2 \sqrt{3};2 \sqrt{6}),$$ $$v=\overrightarrow{BC}=(2 \sqrt{3};0;0).$$ Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат: $$u\cdot v=2 \sqrt{3}\cdot2 \sqrt{3}+(-2 \sqrt{3})\cdot0+2 \sqrt{6}\cdot0=(2 \sqrt{3})^2=12.$$ Длины векторов уже найдены как длины отрезков: $$|u|=AC_1=4 \sqrt{3},\qquad |v|=BC=2 \sqrt{3}.$$ По формуле косинуса угла между направлениями: $$\cos\varphi=\frac{|u\cdot v|}{|u|\,|v|}=\frac{12}{4 \sqrt{3}\cdot2 \sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}=\frac{1}{2}.$$ Модуль нужен, чтобы получить меньший, то есть не тупой, угол между прямыми. Найденное значение равно косинусу 60°. Поэтому: $$\varphi=60^\circ.$$ Пункт а) доказан. б) Нужно найти длину перпендикуляра из $B$ на $AC_1$. Обозначим его основание через $H_0$, а длину — через $d=BH_0$. Сначала заметим, что $AB$ перпендикулярен и $BC$, и $CC_1$: первая перпендикулярность следует из прямого угла $ABC$, вторая — из перпендикулярности вертикали основанию. Следовательно, направление $AB$ перпендикулярно плоскости $BCC_1$ и, в частности, отрезку $BC_1$. Значит, $ABC_1$ — прямоугольный треугольник с катетами $AB$ и $BC_1$. В треугольнике $BCC_1$ известны перпендикулярные катеты $BC=2\sqrt3$ и $CC_1=2\sqrt6$. По теореме Пифагора: $$BC_1^2=(2\sqrt3)^2+(2\sqrt6)^2=4\cdot3+4\cdot6=12+24=36,$$ $$BC_1=6.$$ Вычислим площадь треугольника $ABC_1$ по катетам: $$S=\frac12 AB\cdot BC_1.$$ Та же площадь по гипотенузе $AC_1$ и высоте $d$ равна: $$S=\frac12 AC_1\cdot d.$$ Приравняем, умножим на 2 и разделим на $AC_1$: $$AB\cdot BC_1=AC_1\cdot d,$$ $$d=\frac{AB\cdot BC_1}{AC_1}.$$ Подставим числа: $$d=\frac{2\sqrt3\cdot6}{4\sqrt3}=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3}.$$ Сократим общий положительный множитель $\sqrt3$ и разделим 12 на 4: $$d=12/4=3.$$ Ответ: а) 60°; б) расстояние равно 3.

Сначала найдём стороны прямоугольных треугольников. Они нужны и для угла в пункте а), и для вычислений в пункте б). Отрезок $AC$ — диаметр окружности основания, а $B$ лежит на этой окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: $$\angle ABC=90^\circ.$$ В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при $C$ равен 30°. Его противоположный катет — $AB$, гипотенуза — $AC$. По определению синуса: $$\sin 30^\circ=\frac{AB}{AC}.$$ Умножим на $AC$ и разделим на положительное значение синуса: $$AC=\frac{AB}{\sin 30^\circ}.$$ Подставим известные данные и табличное значение синуса: $$AB=\sqrt{2},\qquad\sin 30^\circ=\frac{1}{2},$$ $$AC=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=2 \sqrt{2}.$$ Для того же угла прилежащим катетом является $BC$. По определению косинуса: $$\cos 30^\circ=\frac{BC}{AC},$$ $$BC=AC\cos 30^\circ=2 \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}.$$ Образующая $CC_1$ — высота цилиндра, её длина $h=2$. Поскольку она перпендикулярна основанию, треугольник $ACC_1$ прямоугольный при $C$. По теореме Пифагора: $$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=(2 \sqrt{2})^2+(2)^2=8+4=12,$$ $$AC_1=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}.$$ а) Найдём угол между $AC_1$ и $BC$. В пространстве прямые могут не пересекаться. Угол между ними определяется углом между их направлениями. Вычислить его удобно через координаты и скалярное произведение. Начало координат поместим в $B$. Ось $x$ направим вдоль $BC$, ось $y$ — вдоль $BA$, ось $z$ — вертикально. Первые две оси перпендикулярны, так как $\angle ABC=90^\circ$. Поэтому: $$B=(0;0;0),\quad C=(\sqrt{6};0;0),\quad A=(0;\sqrt{2};0),\quad C_1=(\sqrt{6};0;2).$$ Вектор от начала отрезка к концу получается вычитанием соответствующих координат: $$u=\overrightarrow{AC_1}=(\sqrt{6}-0;0-\sqrt{2};2-0)=(\sqrt{6};-\sqrt{2};2),$$ $$v=\overrightarrow{BC}=(\sqrt{6};0;0).$$ Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат: $$u\cdot v=\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}+(-\sqrt{2})\cdot0+2\cdot0=(\sqrt{6})^2=6.$$ Длины векторов уже найдены как длины отрезков: $$|u|=AC_1=2 \sqrt{3},\qquad |v|=BC=\sqrt{6}.$$ По формуле косинуса угла между направлениями: $$\cos\varphi=\frac{|u\cdot v|}{|u|\,|v|}=\frac{6}{2 \sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Модуль нужен, чтобы получить меньший, то есть не тупой, угол между прямыми. Найденное значение равно косинусу 45°. Поэтому: $$\varphi=45^\circ.$$ Пункт а) доказан. б) Объём цилиндра равен площади круга основания, умноженной на высоту: $$V=\pi R^2h.$$ Радиус вдвое меньше найденного диаметра: $$R=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$ Возведём его в квадрат: $$R^2=(\sqrt2)^2=2.$$ Высота $h=CC_1=2$, поэтому: $$V=\pi\cdot2\cdot2=4\pi.$$ Ответ: а) 45°; б) объём равен $4\pi$.

Сначала найдём стороны прямоугольных треугольников. Они нужны и для угла в пункте а), и для вычислений в пункте б). Отрезок $AC$ — диаметр окружности основания, а $B$ лежит на этой окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: $$\angle ABC=90^\circ.$$ В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при $C$ равен 30°. Его противоположный катет — $AB$, гипотенуза — $AC$. По определению синуса: $$\sin 30^\circ=\frac{AB}{AC}.$$ Умножим на $AC$ и разделим на положительное значение синуса: $$AC=\frac{AB}{\sin 30^\circ}.$$ Подставим известные данные и табличное значение синуса: $$AB=1,\qquad\sin 30^\circ=\frac{1}{2},$$ $$AC=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$$ Для того же угла прилежащим катетом является $BC$. По определению косинуса: $$\cos 30^\circ=\frac{BC}{AC},$$ $$BC=AC\cos 30^\circ=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$ Образующая $CC_1$ — высота цилиндра, её длина $h=2 \sqrt{2}$. Поскольку она перпендикулярна основанию, треугольник $ACC_1$ прямоугольный при $C$. По теореме Пифагора: $$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=(2)^2+(2 \sqrt{2})^2=4+8=12,$$ $$AC_1=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}.$$ а) Найдём угол между $AC_1$ и $BC$. В пространстве прямые могут не пересекаться. Угол между ними определяется углом между их направлениями. Вычислить его удобно через координаты и скалярное произведение. Начало координат поместим в $B$. Ось $x$ направим вдоль $BC$, ось $y$ — вдоль $BA$, ось $z$ — вертикально. Первые две оси перпендикулярны, так как $\angle ABC=90^\circ$. Поэтому: $$B=(0;0;0),\quad C=(\sqrt{3};0;0),\quad A=(0;1;0),\quad C_1=(\sqrt{3};0;2 \sqrt{2}).$$ Вектор от начала отрезка к концу получается вычитанием соответствующих координат: $$u=\overrightarrow{AC_1}=(\sqrt{3}-0;0-1;2 \sqrt{2}-0)=(\sqrt{3};-1;2 \sqrt{2}),$$ $$v=\overrightarrow{BC}=(\sqrt{3};0;0).$$ Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат: $$u\cdot v=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+(-1)\cdot0+2 \sqrt{2}\cdot0=(\sqrt{3})^2=3.$$ Длины векторов уже найдены как длины отрезков: $$|u|=AC_1=2 \sqrt{3},\qquad |v|=BC=\sqrt{3}.$$ По формуле косинуса угла между направлениями: $$\cos\varphi=\frac{|u\cdot v|}{|u|\,|v|}=\frac{3}{2 \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}=\frac{1}{2}.$$ Модуль нужен, чтобы получить меньший, то есть не тупой, угол между прямыми. Найденное значение равно косинусу 60°. Поэтому: $$\varphi=60^\circ.$$ Пункт а) доказан. б) При разворачивании боковой поверхности получается прямоугольник: одна его сторона равна высоте $h$, другая — длине окружности основания $2\pi R$. Поэтому: $$S_{\text{бок}}=2\pi Rh.$$ Радиус — половина диаметра: $$R=AC/2=2/2=1.$$ Подставим $h=CC_1=2\sqrt2$: $$S_{\text{бок}}=2\pi\cdot1\cdot2\sqrt2=4\sqrt2\pi.$$ Ответ: а) 60°; б) площадь боковой поверхности равна $4\sqrt2\pi$.