В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$,
а на окружности другого основания $—$ точки ${B}_{1}$ и ${C}_{1}$, причём $B{B}_{1}$ $—$ образующая цилиндра, а отрезок $A{C}_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $AB{C}_{1}$ прямой.
б) Найдите угол между прямыми $B{B}_{1}$ и $A{C}_{1}$, если $AB=6$, $B{B}_{1}=15$, ${B}_{1}{C}_{1}=8$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\arctan\frac23$.
Решение
Вначале докажем прямой угол из пункта а). Это не отдельный отвлечённый факт: прямоугольные треугольники позволят затем применять теорему Пифагора и простые формулы площадей.
Обозначим через $C$ проекцию точки $C_1$ на основание, в котором лежат $A,B$. Образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям. Поэтому $CC_1$ и $BB_1$ — параллельные вертикальные отрезки одинаковой длины, а $BC=B_1C_1$.
Почему $AC$ является диаметром? Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. При проецировании на нижнее основание эта ось переходит в центр круга $O$, а отрезок $AC_1$ — в $AC$. Значит, $O$ лежит на $AC$. Обе точки $A,C$ лежат на окружности, поэтому проходящий через центр отрезок $AC$ — диаметр.
а) Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$. По теореме об угле, опирающемся на диаметр, он прямой:
$$\angle ABC=90^\circ,\qquad AB\perp BC.$$
Прямая $BB_1$ перпендикулярна основанию. Прямая $AB$ лежит в этом основании и проходит через $B$, поэтому:
$$AB\perp BB_1.$$
Прямые $BC$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и лежат в одной плоскости $BCC_1B_1$. Прямая $AB$ перпендикулярна обеим. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости она перпендикулярна всей этой плоскости, а значит, и проходящей через $B$ прямой $BC_1$:
$$AB\perp BC_1,\qquad\angle ABC_1=90^\circ.$$
Пункт а) доказан.
б) Нужно найти угол между $BB_1$ и $AC_1$.
Эти прямые могут не пересекаться, поэтому перенесём направление $BB_1$ параллельно самому себе в точку $C_1$. Прямая $CC_1$ параллельна $BB_1$. Следовательно, искомый острый угол равен углу между $CC_1$ и $AC_1$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ диаметр $AC$ — гипотенуза. Найдём его по двум катетам:
$$AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100,$$
$$AC=\sqrt{100}=10.$$
Теперь рассмотрим треугольник $ACC_1$. Он прямоугольный при $C$, потому что $CC_1$ перпендикулярен основанию. Его катеты:
$$AC=10,\qquad CC_1=BB_1=15.$$
Обозначим искомый угол при $C_1$ через $\varphi$. Для этого угла противоположный катет — $AC$, а прилежащий — $CC_1$. По определению тангенса:
$$\tan\varphi=\frac{AC}{CC_1}=\frac{10}{15}.$$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$$\tan\varphi=\frac23.$$
Запись $\arctan(2/3)$ означает единственный острый угол, тангенс которого равен $2/3$. Следовательно:
$$\varphi=\arctan\frac23.$$
Приближённо это $33{,}69^\circ$, но точный ответ — арктангенс.
Ответ: а) угол прямой; б) $\arctan\frac23$.