В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$,
а на окружности другого основания $—$ точка ${C}_{1}$, причём $C{C}_{1}$ $—$ образующая цилиндра, а $AC$ $—$ диаметр основания. Известно, что $∠ACB=45^{\circ}$, $AB=2\sqrt{3}$, $C{C}_{1}=2\sqrt{6}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $A{C}_{1}$ и $BC$ равен $60^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A{C}_{1}$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $3$.
Решение
Сначала найдём стороны прямоугольных треугольников. Они нужны и для угла в пункте а), и для вычислений в пункте б).
Отрезок $AC$ — диаметр окружности основания, а $B$ лежит на этой окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
$$\angle ABC=90^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при $C$ равен 45°. Его противоположный катет — $AB$, гипотенуза — $AC$. По определению синуса:
$$\sin 45^\circ=\frac{AB}{AC}.$$
Умножим на $AC$ и разделим на положительное значение синуса:
$$AC=\frac{AB}{\sin 45^\circ}.$$
Подставим известные данные и табличное значение синуса:
$$AB=2 \sqrt{3},\qquad\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},$$
$$AC=\frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2 \sqrt{6}.$$
Для того же угла прилежащим катетом является $BC$. По определению косинуса:
$$\cos 45^\circ=\frac{BC}{AC},$$
$$BC=AC\cos 45^\circ=2 \sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2 \sqrt{3}.$$
Образующая $CC_1$ — высота цилиндра, её длина $h=2 \sqrt{6}$. Поскольку она перпендикулярна основанию, треугольник $ACC_1$ прямоугольный при $C$. По теореме Пифагора:
$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=(2 \sqrt{6})^2+(2 \sqrt{6})^2=24+24=48,$$
$$AC_1=\sqrt{48}=4 \sqrt{3}.$$
а) Найдём угол между $AC_1$ и $BC$.
В пространстве прямые могут не пересекаться. Угол между ними определяется углом между их направлениями. Вычислить его удобно через координаты и скалярное произведение.
Начало координат поместим в $B$. Ось $x$ направим вдоль $BC$, ось $y$ — вдоль $BA$, ось $z$ — вертикально. Первые две оси перпендикулярны, так как $\angle ABC=90^\circ$. Поэтому:
$$B=(0;0;0),\quad C=(2 \sqrt{3};0;0),\quad A=(0;2 \sqrt{3};0),\quad C_1=(2 \sqrt{3};0;2 \sqrt{6}).$$
Вектор от начала отрезка к концу получается вычитанием соответствующих координат:
$$u=\overrightarrow{AC_1}=(2 \sqrt{3}-0;0-2 \sqrt{3};2 \sqrt{6}-0)=(2 \sqrt{3};-2 \sqrt{3};2 \sqrt{6}),$$
$$v=\overrightarrow{BC}=(2 \sqrt{3};0;0).$$
Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат:
$$u\cdot v=2 \sqrt{3}\cdot2 \sqrt{3}+(-2 \sqrt{3})\cdot0+2 \sqrt{6}\cdot0=(2 \sqrt{3})^2=12.$$
Длины векторов уже найдены как длины отрезков:
$$|u|=AC_1=4 \sqrt{3},\qquad |v|=BC=2 \sqrt{3}.$$
По формуле косинуса угла между направлениями:
$$\cos\varphi=\frac{|u\cdot v|}{|u|\,|v|}=\frac{12}{4 \sqrt{3}\cdot2 \sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}=\frac{1}{2}.$$
Модуль нужен, чтобы получить меньший, то есть не тупой, угол между прямыми. Найденное значение равно косинусу 60°. Поэтому:
$$\varphi=60^\circ.$$
Пункт а) доказан.
б) Нужно найти длину перпендикуляра из $B$ на $AC_1$. Обозначим его основание через $H_0$, а длину — через $d=BH_0$.
Сначала заметим, что $AB$ перпендикулярен и $BC$, и $CC_1$: первая перпендикулярность следует из прямого угла $ABC$, вторая — из перпендикулярности вертикали основанию. Следовательно, направление $AB$ перпендикулярно плоскости $BCC_1$ и, в частности, отрезку $BC_1$. Значит, $ABC_1$ — прямоугольный треугольник с катетами $AB$ и $BC_1$.
В треугольнике $BCC_1$ известны перпендикулярные катеты $BC=2\sqrt3$ и $CC_1=2\sqrt6$. По теореме Пифагора:
$$BC_1^2=(2\sqrt3)^2+(2\sqrt6)^2=4\cdot3+4\cdot6=12+24=36,$$
$$BC_1=6.$$
Вычислим площадь треугольника $ABC_1$ по катетам:
$$S=\frac12 AB\cdot BC_1.$$
Та же площадь по гипотенузе $AC_1$ и высоте $d$ равна:
$$S=\frac12 AC_1\cdot d.$$
Приравняем, умножим на 2 и разделим на $AC_1$:
$$AB\cdot BC_1=AC_1\cdot d,$$
$$d=\frac{AB\cdot BC_1}{AC_1}.$$
Подставим числа:
$$d=\frac{2\sqrt3\cdot6}{4\sqrt3}=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3}.$$
Сократим общий положительный множитель $\sqrt3$ и разделим 12 на 4:
$$d=12/4=3.$$
Ответ: а) 60°; б) расстояние равно 3.