В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$,
а на окружности другого основания $—$ точка ${C}_{1}$, причём $C{C}_{1}$ $—$ образующая цилиндра, а $AC$ $—$ диаметр основания. Известно, что $∠ACB=30^{\circ}$, $AB=\sqrt{2}$, $C{C}_{1}=2$.
а) Докажите, что угол между прямыми $A{C}_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите объём цилиндра.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $4 \pi$.
Решение
Сначала найдём стороны прямоугольных треугольников. Они нужны и для угла в пункте а), и для вычислений в пункте б).
Отрезок $AC$ — диаметр окружности основания, а $B$ лежит на этой окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
$$\angle ABC=90^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при $C$ равен 30°. Его противоположный катет — $AB$, гипотенуза — $AC$. По определению синуса:
$$\sin 30^\circ=\frac{AB}{AC}.$$
Умножим на $AC$ и разделим на положительное значение синуса:
$$AC=\frac{AB}{\sin 30^\circ}.$$
Подставим известные данные и табличное значение синуса:
$$AB=\sqrt{2},\qquad\sin 30^\circ=\frac{1}{2},$$
$$AC=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=2 \sqrt{2}.$$
Для того же угла прилежащим катетом является $BC$. По определению косинуса:
$$\cos 30^\circ=\frac{BC}{AC},$$
$$BC=AC\cos 30^\circ=2 \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}.$$
Образующая $CC_1$ — высота цилиндра, её длина $h=2$. Поскольку она перпендикулярна основанию, треугольник $ACC_1$ прямоугольный при $C$. По теореме Пифагора:
$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=(2 \sqrt{2})^2+(2)^2=8+4=12,$$
$$AC_1=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}.$$
а) Найдём угол между $AC_1$ и $BC$.
В пространстве прямые могут не пересекаться. Угол между ними определяется углом между их направлениями. Вычислить его удобно через координаты и скалярное произведение.
Начало координат поместим в $B$. Ось $x$ направим вдоль $BC$, ось $y$ — вдоль $BA$, ось $z$ — вертикально. Первые две оси перпендикулярны, так как $\angle ABC=90^\circ$. Поэтому:
$$B=(0;0;0),\quad C=(\sqrt{6};0;0),\quad A=(0;\sqrt{2};0),\quad C_1=(\sqrt{6};0;2).$$
Вектор от начала отрезка к концу получается вычитанием соответствующих координат:
$$u=\overrightarrow{AC_1}=(\sqrt{6}-0;0-\sqrt{2};2-0)=(\sqrt{6};-\sqrt{2};2),$$
$$v=\overrightarrow{BC}=(\sqrt{6};0;0).$$
Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат:
$$u\cdot v=\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}+(-\sqrt{2})\cdot0+2\cdot0=(\sqrt{6})^2=6.$$
Длины векторов уже найдены как длины отрезков:
$$|u|=AC_1=2 \sqrt{3},\qquad |v|=BC=\sqrt{6}.$$
По формуле косинуса угла между направлениями:
$$\cos\varphi=\frac{|u\cdot v|}{|u|\,|v|}=\frac{6}{2 \sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Модуль нужен, чтобы получить меньший, то есть не тупой, угол между прямыми. Найденное значение равно косинусу 45°. Поэтому:
$$\varphi=45^\circ.$$
Пункт а) доказан.
б) Объём цилиндра равен площади круга основания, умноженной на высоту:
$$V=\pi R^2h.$$
Радиус вдвое меньше найденного диаметра:
$$R=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$
Возведём его в квадрат:
$$R^2=(\sqrt2)^2=2.$$
Высота $h=CC_1=2$, поэтому:
$$V=\pi\cdot2\cdot2=4\pi.$$
Ответ: а) 45°; б) объём равен $4\pi$.