В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$,
а на окружности другого основания $—$ точка ${C}_{1}$, причём $C{C}_{1}$ $—$ образующая цилиндра, а $AC$ $—$ диаметр основания. Известно, что $∠ACB=30^{\circ}$, $AB=1$, $C{C}_{1}=2\sqrt{2}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $A{C}_{1}$ и $BC$ равен $60^{\circ}$.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $4 \sqrt{2} \pi$.
Решение
Сначала найдём стороны прямоугольных треугольников. Они нужны и для угла в пункте а), и для вычислений в пункте б).
Отрезок $AC$ — диаметр окружности основания, а $B$ лежит на этой окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
$$\angle ABC=90^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол при $C$ равен 30°. Его противоположный катет — $AB$, гипотенуза — $AC$. По определению синуса:
$$\sin 30^\circ=\frac{AB}{AC}.$$
Умножим на $AC$ и разделим на положительное значение синуса:
$$AC=\frac{AB}{\sin 30^\circ}.$$
Подставим известные данные и табличное значение синуса:
$$AB=1,\qquad\sin 30^\circ=\frac{1}{2},$$
$$AC=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$$
Для того же угла прилежащим катетом является $BC$. По определению косинуса:
$$\cos 30^\circ=\frac{BC}{AC},$$
$$BC=AC\cos 30^\circ=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$
Образующая $CC_1$ — высота цилиндра, её длина $h=2 \sqrt{2}$. Поскольку она перпендикулярна основанию, треугольник $ACC_1$ прямоугольный при $C$. По теореме Пифагора:
$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=(2)^2+(2 \sqrt{2})^2=4+8=12,$$
$$AC_1=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}.$$
а) Найдём угол между $AC_1$ и $BC$.
В пространстве прямые могут не пересекаться. Угол между ними определяется углом между их направлениями. Вычислить его удобно через координаты и скалярное произведение.
Начало координат поместим в $B$. Ось $x$ направим вдоль $BC$, ось $y$ — вдоль $BA$, ось $z$ — вертикально. Первые две оси перпендикулярны, так как $\angle ABC=90^\circ$. Поэтому:
$$B=(0;0;0),\quad C=(\sqrt{3};0;0),\quad A=(0;1;0),\quad C_1=(\sqrt{3};0;2 \sqrt{2}).$$
Вектор от начала отрезка к концу получается вычитанием соответствующих координат:
$$u=\overrightarrow{AC_1}=(\sqrt{3}-0;0-1;2 \sqrt{2}-0)=(\sqrt{3};-1;2 \sqrt{2}),$$
$$v=\overrightarrow{BC}=(\sqrt{3};0;0).$$
Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат:
$$u\cdot v=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+(-1)\cdot0+2 \sqrt{2}\cdot0=(\sqrt{3})^2=3.$$
Длины векторов уже найдены как длины отрезков:
$$|u|=AC_1=2 \sqrt{3},\qquad |v|=BC=\sqrt{3}.$$
По формуле косинуса угла между направлениями:
$$\cos\varphi=\frac{|u\cdot v|}{|u|\,|v|}=\frac{3}{2 \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}=\frac{1}{2}.$$
Модуль нужен, чтобы получить меньший, то есть не тупой, угол между прямыми. Найденное значение равно косинусу 60°. Поэтому:
$$\varphi=60^\circ.$$
Пункт а) доказан.
б) При разворачивании боковой поверхности получается прямоугольник: одна его сторона равна высоте $h$, другая — длине окружности основания $2\pi R$. Поэтому:
$$S_{\text{бок}}=2\pi Rh.$$
Радиус — половина диаметра:
$$R=AC/2=2/2=1.$$
Подставим $h=CC_1=2\sqrt2$:
$$S_{\text{бок}}=2\pi\cdot1\cdot2\sqrt2=4\sqrt2\pi.$$
Ответ: а) 60°; б) площадь боковой поверхности равна $4\sqrt2\pi$.