Угол между прямой и плоскостью — задание №14 ЕГЭ по математике

План. Объёмы сравним через площадь основания и высоту: уменьшение двух рёбер нельзя считать просто одним коэффициентом подобия. Для угла введём прямоугольные координаты и найдём нормаль к сечению. а) Объёмы частей. Плоскость $CMK$ отсекает у вершины $A$ тетраэдр $ACMK$. Отношения на рёбрах: $$\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AD}=\frac46=\frac23.$$ Треугольники $ACM$ и $ACB$ лежат в одной плоскости и имеют общую высоту из $C$ к $AB$. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: $$\frac{S_{ACM}}{S_{ACB}}=\frac{AM}{AB}=\frac23.$$ Расстояние от $K$ до плоскости $ABC$ составляет $2/3$ расстояния от $D$ до той же плоскости, потому что $K$ проходит $2/3$ пути от $A$, лежащей в основании, к $D$. По формуле объёма $V=Sh/3$: $$\frac{V_{ACMK}}{V_{ABCD}}=\frac23\cdot\frac23=\frac49.$$ Другая часть занимает долю $$1-\frac49=\frac59.$$ Следовательно, объёмы относятся как $$\frac59:\frac49=5:4.$$ б) Координаты вершин. Возьмём $$A(0;0;0),\quad B(6;0;0),\quad C(3;3\sqrt3;0).$$ Высота равностороннего основания равна $3\sqrt3$, его центр имеет координаты $(3;\sqrt3;0)$, расстояние от центра до $A$ равно $\sqrt{9+3}=2\sqrt3$. Поэтому высота правильного тетраэдра: $$h=\sqrt{6^2-(2\sqrt3)^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt6.$$ Получаем $$D(3;\sqrt3;2\sqrt6),\quad M(4;0;0),$$ $$K=\frac23D=\left(2;\frac{2\sqrt3}{3};\frac{4\sqrt6}{3}\right).$$ Два направления секущей плоскости: $$\overrightarrow{MC}=(-1;3\sqrt3;0),$$ $$\overrightarrow{MK}=\left(-2;\frac{2\sqrt3}{3};\frac{4\sqrt6}{3}\right).$$ Находим нормаль. Если $\mathbf n=(u;v;w)$ перпендикулярен обоим направлениям, то $$-u+3\sqrt3v=0,$$ $$-2u+\frac{2\sqrt3}{3}v+\frac{4\sqrt6}{3}w=0.$$ Можно выбрать $v=\sqrt2$. Тогда $u=3\sqrt6$. Во втором равенстве: $$-6\sqrt6+\frac{2\sqrt6}{3}+\frac{4\sqrt6}{3}w=0.$$ Делим на $\sqrt6/3$: $$-18+2+4w=0,\qquad 4w=16,\qquad w=4.$$ Итак, $$\mathbf n=(3\sqrt6;\sqrt2;4),\qquad |\mathbf n|=\sqrt{54+2+16}=\sqrt{72}=6\sqrt2.$$ Направление $AC$ — $\mathbf u=(3;3\sqrt3;0)$, его длина $AC=6$. Угол прямой с плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол с нормалью. Поэтому $$\sin\varphi=\frac{|\mathbf u\cdot\mathbf n|}{|\mathbf u||\mathbf n|}.$$ Скалярное произведение: $$\mathbf u\cdot\mathbf n=3\cdot3\sqrt6+3\sqrt3\cdot\sqrt2+0\cdot4=9\sqrt6+3\sqrt6=12\sqrt6.$$ Следовательно, $$\sin\varphi=\frac{12\sqrt6}{6\cdot6\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{3}.$$ Спрашивается косинус. Используем $\cos^2\varphi=1-\sin^2\varphi$: $$\cos^2\varphi=1-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=1-\frac39=\frac23,$$ $$\cos\varphi=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}.$$ Берём положительный корень: угол прямой с плоскостью находится между $0^\circ$ и $90^\circ$. Ответ: б) $\frac{\sqrt6}{3}$.

План. Положение четверти основания и середины верхнего ребра удобно сравнить по координатам. Для угла затем найдём нормаль к боковой грани. а) Перпендикулярность при любых данных размерах. Пусть $AC=2b$, высота равнобедренного основания из $B$ равна $c$, высота призмы равна $h$. Введём прямоугольные координаты: $$A(-b;0;0),\quad C(b;0;0),\quad B(0;c;0).$$ Верхние вершины находятся на высоте $z=h$. Поскольку $AM:MC=1:3$, отрезок $AM$ составляет четверть $AC$: $$AM=\frac{2b}{4}=\frac b2,\qquad M\left(-b+\frac b2;0;0\right)=\left(-\frac b2;0;0\right).$$ Координаты середины $A_1B_1$ — полусуммы координат концов: $$K\left(\frac{-b+0}{2};\frac{0+c}{2};\frac{h+h}{2}\right)=\left(-\frac b2;\frac c2;h\right).$$ Точки $M$ и $K$ имеют одинаковую первую координату. Поэтому направление $MK$ имеет вид $(0;c/2;h)$, а направление $AC$ — $(2b;0;0)$. Скалярное произведение равно $$0\cdot2b+\frac c2\cdot0+h\cdot0=0.$$ Значит, $KM\perp AC$. б) Подставляем размеры. Из $AC=8$ получаем $b=4$. Высота основания находится по Пифагору в половине равнобедренного треугольника: $$c^2=AB^2-b^2=6^2-4^2=36-16=20,$$ $$c=\sqrt{20}=2\sqrt5.$$ Высота призмы $h=3$. Значит, $$\overrightarrow{MK}=(0;\sqrt5;3),\qquad |MK|=\sqrt{0^2+(\sqrt5)^2+3^2}=\sqrt{5+9}=\sqrt{14}.$$ Грань $ABB_1$ вертикальна. Её нормаль должна быть горизонтальна и перпендикулярна $AB$. Вектор $AB=(4;2\sqrt5;0)$. Подойдёт $$\mathbf n=(\sqrt5;-2;0),$$ поскольку $$\mathbf n\cdot\overrightarrow{AB}=4\sqrt5-4\sqrt5=0.$$ Длина нормали: $$|\mathbf n|=\sqrt{(\sqrt5)^2+(-2)^2}=\sqrt{5+4}=3.$$ Угол прямой с плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол с её нормалью. Поэтому для искомого угла $\varphi$ используем синус: $$\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{MK}\cdot\mathbf n|}{|MK||\mathbf n|}.$$ Вычисляем числитель: $$|0\cdot\sqrt5+\sqrt5\cdot(-2)+3\cdot0|=|-2\sqrt5|=2\sqrt5.$$ Следовательно, $$\sin\varphi=\frac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}},\qquad \varphi=\arcsin\frac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}}.$$ Ответ: б) $\arcsin\frac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}}$.

План. Вертикальная плоскость не меняет горизонтальное положение точек при подъёме. Запишем её след в квадрате, а равенство двух сторон равностороннего сечения превратим в равенство двух отрезков на сторонах квадрата. После этого найдём размеры пирамиды по площади сечения и объёму. Пусть сторона квадрата $d$, высота пирамиды $h$. Выберем координаты $$A(0;0;0),\quad B(d;0;0),\quad D(0;d;0),\quad C(d;d;0),\quad S\left(\frac d2;\frac d2;h\right).$$ Точка $K$ внутри ребра $SA$ имеет одинаковые первые координаты, поэтому запишем $$K(w;w;z).$$ Треугольное сечение через внутреннюю точку $SA$ отсекает угол у $A$: две другие его вершины лежат на $AB$ и $AD$. Обозначим их $$U(u;0;0),\qquad V(0;v;0),\qquad u,v>0.$$ Поясним, почему не появляются вершины на других рёбрах. Вертикальная плоскость задаётся линейным выражением от $x,y$. Его значения в $S$ и центре $O$ одинаковы; значение в $O$ — среднее значений в противоположных вершинах квадрата. Плоскость пересекает $SA$, поэтому $A$ и $S$ по разные её стороны, а $C$ — на стороне $S$. Если бы $B$ или $D$ также оказалась на стороне $A$, плоскость пересекала бы два боковых и два основных ребра, то есть сечение имело бы четыре вершины. Треугольное сечение возможно только при $B,D$ на стороне $S$, и тогда пересекаются именно $SA,AB,AD$. а) Используем равенство сторон. Вертикальная плоскость через $U,V$ имеет уравнение $$\frac xu+\frac yv=1.$$ Координата $z$ не входит: плоскость содержит вертикальное направление. Подстановка $K$: $$\frac wu+\frac wv=1,\qquad w\frac{u+v}{uv}=1,\qquad w=\frac{uv}{u+v}.$$ Поскольку сечение равностороннее, $KU=KV$. Расписываем квадраты длин по координатам: $$KU^2=(u-w)^2+w^2+z^2,$$ $$KV^2=w^2+(v-w)^2+z^2.$$ Приравниваем и сокращаем одинаковые слагаемые: $$u^2-2uw+w^2=v^2-2vw+w^2,$$ $$u^2-v^2-2w(u-v)=0,$$ $$ (u-v)(u+v-2w)=0.$$ Проверим второй множитель: $$u+v-2w=u+v-\frac{2uv}{u+v}=\frac{(u+v)^2-2uv}{u+v},$$ $$u+v-2w=\frac{u^2+2uv+v^2-2uv}{u+v}=\frac{u^2+v^2}{u+v}>0.$$ Следовательно, нулю равен первый множитель: $$u-v=0,\qquad u=v.$$ Плоскость теперь имеет уравнение $x+y=u$, её нормаль $(1;1;0)$. Направление диагонали $AC=(d;d;0)$ параллельно этой нормали. Значит, $$\alpha\perp AC.$$ б) Находим размеры сечения. Пусть его сторона $s$. Высота равностороннего треугольника по Пифагору равна $\sqrt{s^2-(s/2)^2}=s\sqrt3/2$. Поэтому площадь $$S=\frac12s\cdot\frac{s\sqrt3}{2}=\frac{s^2\sqrt3}{4}.$$ Подставляем заданное значение: $$\frac{s^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3,\qquad s^2=16,\qquad s=4.$$ Так как $u=v$, длина основания $UV$: $$UV=\sqrt{u^2+u^2}=u\sqrt2=4,$$ $$u=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2.$$ Из формулы для $w$ при $u=v$: $$w=\frac{u^2}{2u}=\frac u2.$$ Проекция $K$ на основание — $(u/2;u/2;0)$, то есть середина $UV$. Вертикаль через неё перпендикулярна $UV$, значит, высота равностороннего сечения равна третьей координате $K$: $$z=\frac{s\sqrt3}{2}=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3.$$ Связь с размерами пирамиды. Пусть $t=AK/AS$. На ребре от $A$ к $S$ координаты имеют вид $(td/2;td/2;th)$. Сравниваем с $K(u/2;u/2;z)$: $$\frac{td}{2}=\frac u2,\qquad th=z,$$ $$t=\frac ud=\frac zh,\qquad \frac hd=\frac zu=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt2}=\sqrt{\frac32}.$$ По условию объём равен $18\sqrt3$: $$\frac{d^2h}{3}=18\sqrt3.$$ Подставляем $h=d\sqrt{3/2}$ и умножаем на 3: $$d^3\sqrt{\frac32}=54\sqrt3,$$ $$d^3=54\sqrt3\sqrt{\frac23}=54\sqrt2.$$ Замечаем, что $$ (3\sqrt2)^3=27\cdot2\sqrt2=54\sqrt2.$$ Поскольку $d>0$, получаем $$d=3\sqrt2,\qquad h=d\sqrt{\frac32}=3\sqrt3.$$ Теперь доля ребра: $$\frac{AK}{AS}=\frac ud=\frac{2\sqrt2}{3\sqrt2}=\frac23,$$ $$\frac{SK}{AS}=1-\frac23=\frac13.$$ Следовательно, $$SK:KA=\frac13:\frac23=1:2.$$ Ответ: б) $1:2$, считая от $S$.