ФИПИ 69A4eD — Стереометрия (2 часть)

План. Объёмы сравним через площадь основания и высоту: уменьшение двух рёбер нельзя считать просто одним коэффициентом подобия. Для угла введём прямоугольные координаты и найдём нормаль к сечению. а) Объёмы частей. Плоскость $CMK$ отсекает у вершины $A$ тетраэдр $ACMK$. Отношения на рёбрах: $$\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AD}=\frac46=\frac23.$$ Треугольники $ACM$ и $ACB$ лежат в одной плоскости и имеют общую высоту из $C$ к $AB$. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: $$\frac{S_{ACM}}{S_{ACB}}=\frac{AM}{AB}=\frac23.$$ Расстояние от $K$ до плоскости $ABC$ составляет $2/3$ расстояния от $D$ до той же плоскости, потому что $K$ проходит $2/3$ пути от $A$, лежащей в основании, к $D$. По формуле объёма $V=Sh/3$: $$\frac{V_{ACMK}}{V_{ABCD}}=\frac23\cdot\frac23=\frac49.$$ Другая часть занимает долю $$1-\frac49=\frac59.$$ Следовательно, объёмы относятся как $$\frac59:\frac49=5:4.$$ б) Координаты вершин. Возьмём $$A(0;0;0),\quad B(6;0;0),\quad C(3;3\sqrt3;0).$$ Высота равностороннего основания равна $3\sqrt3$, его центр имеет координаты $(3;\sqrt3;0)$, расстояние от центра до $A$ равно $\sqrt{9+3}=2\sqrt3$. Поэтому высота правильного тетраэдра: $$h=\sqrt{6^2-(2\sqrt3)^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt6.$$ Получаем $$D(3;\sqrt3;2\sqrt6),\quad M(4;0;0),$$ $$K=\frac23D=\left(2;\frac{2\sqrt3}{3};\frac{4\sqrt6}{3}\right).$$ Два направления секущей плоскости: $$\overrightarrow{MC}=(-1;3\sqrt3;0),$$ $$\overrightarrow{MK}=\left(-2;\frac{2\sqrt3}{3};\frac{4\sqrt6}{3}\right).$$ Находим нормаль. Если $\mathbf n=(u;v;w)$ перпендикулярен обоим направлениям, то $$-u+3\sqrt3v=0,$$ $$-2u+\frac{2\sqrt3}{3}v+\frac{4\sqrt6}{3}w=0.$$ Можно выбрать $v=\sqrt2$. Тогда $u=3\sqrt6$. Во втором равенстве: $$-6\sqrt6+\frac{2\sqrt6}{3}+\frac{4\sqrt6}{3}w=0.$$ Делим на $\sqrt6/3$: $$-18+2+4w=0,\qquad 4w=16,\qquad w=4.$$ Итак, $$\mathbf n=(3\sqrt6;\sqrt2;4),\qquad |\mathbf n|=\sqrt{54+2+16}=\sqrt{72}=6\sqrt2.$$ Направление $AC$ — $\mathbf u=(3;3\sqrt3;0)$, его длина $AC=6$. Угол прямой с плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол с нормалью. Поэтому $$\sin\varphi=\frac{|\mathbf u\cdot\mathbf n|}{|\mathbf u||\mathbf n|}.$$ Скалярное произведение: $$\mathbf u\cdot\mathbf n=3\cdot3\sqrt6+3\sqrt3\cdot\sqrt2+0\cdot4=9\sqrt6+3\sqrt6=12\sqrt6.$$ Следовательно, $$\sin\varphi=\frac{12\sqrt6}{6\cdot6\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{3}.$$ Спрашивается косинус. Используем $\cos^2\varphi=1-\sin^2\varphi$: $$\cos^2\varphi=1-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=1-\frac39=\frac23,$$ $$\cos\varphi=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}.$$ Берём положительный корень: угол прямой с плоскостью находится между $0^\circ$ и $90^\circ$. Ответ: б) $\frac{\sqrt6}{3}$.