В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$,
а на окружности другого основания $—$ точки ${B}_{1}$ и ${C}_{1}$, причём $B{B}_{1}$ $—$ образующая цилиндра, а отрезок $A{C}_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $AB{C}_{1}$ прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если $AB=7$, $B{B}_{1}=24$, ${B}_{1}{C}_{1}=10$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) угол ABC₁ прямой; б) 894π
Решение
Вначале докажем прямой угол из пункта а). Это не отдельный отвлечённый факт: прямоугольные треугольники позволят затем применять теорему Пифагора и простые формулы площадей.
Обозначим через $C$ проекцию точки $C_1$ на основание, в котором лежат $A,B$. Образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям. Поэтому $CC_1$ и $BB_1$ — параллельные вертикальные отрезки одинаковой длины, а $BC=B_1C_1$.
Почему $AC$ является диаметром? Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. При проецировании на нижнее основание эта ось переходит в центр круга $O$, а отрезок $AC_1$ — в $AC$. Значит, $O$ лежит на $AC$. Обе точки $A,C$ лежат на окружности, поэтому проходящий через центр отрезок $AC$ — диаметр.
а) Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$. По теореме об угле, опирающемся на диаметр, он прямой:
$$\angle ABC=90^\circ,\qquad AB\perp BC.$$
Прямая $BB_1$ перпендикулярна основанию. Прямая $AB$ лежит в этом основании и проходит через $B$, поэтому:
$$AB\perp BB_1.$$
Прямые $BC$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и лежат в одной плоскости $BCC_1B_1$. Прямая $AB$ перпендикулярна обеим. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости она перпендикулярна всей этой плоскости, а значит, и проходящей через $B$ прямой $BC_1$:
$$AB\perp BC_1,\qquad\angle ABC_1=90^\circ.$$
Пункт а) доказан.
б) Найдём объём цилиндра.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны оба катета:
$$AB=7,\qquad BC=B_1C_1=10.$$
Гипотенуза $AC$ является диаметром основания. По теореме Пифагора:
$$AC^2=AB^2+BC^2=7^2+10^2.$$
Вычислим квадраты и сумму:
$$AC^2=49+100=149.$$
Нам не обязательно извлекать корень, потому что в формулу объёма входит квадрат радиуса. Радиус вдвое меньше диаметра:
$$R=AC/2,\qquad R^2=AC^2/4=149/4.$$
Высота цилиндра равна образующей:
$$h=BB_1=24.$$
Объём равен площади основания, умноженной на высоту. Основание — круг площади $\pi R^2$, поэтому:
$$V=\pi R^2h.$$
Подставим найденные величины:
$$V=\pi\cdot\frac{149}{4}\cdot24.$$
Сначала сократим $24/4=6$, затем умножим:
$$V=149\cdot6\pi=(150\cdot6-6)\pi=(900-6)\pi=894\pi.$$
Ответ: а) угол прямой; б) объём равен $894\pi$.