ФИПИ 454D16 — Стереометрия (2 часть)

План. Угол между плоскостями заменим углом между двумя прямыми, перпендикулярными их линии пересечения. В полученном прямоугольном треугольнике найдём высоту пирамиды. Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника, $h=SO$, $J$ — середина $BC$, $T$ — середина $MK$. В правильном шестиугольнике противоположные вершины $A$ и $D$ лежат на одной прямой с центром, причём $O$ — середина $AD$. В треугольнике $SAD$ точки $M$, $K$ — середины сторон. Поэтому $$MK\parallel AD,\qquad MK=\frac{AD}{2}.$$ В правильном шестиугольнике $AD\parallel BC$. Например, в координатах с центром $O$ точки $A(a;0)$, $D(-a;0)$, $B(a/2;a\sqrt3/2)$, $C(-a/2;a\sqrt3/2)$: у обеих прямых постоянно второе значение. Поэтому из $MK\parallel AD$ следует $MK\parallel BC$. Пункт а) доказан. В том же треугольнике гомотетия с центром $S$ и коэффициентом $1/2$ переводит $A,D,O$ соответственно в $M,K,T$. Поэтому $T$ — середина $SO$: $$OT=\frac h2.$$ Как измерить угол между плоскостями. Плоскость $BMC$ пересекает основание по $BC$. Отрезок $JO$ перпендикулярен $BC$, потому что в правильном многоугольнике линия от центра к середине стороны перпендикулярна ей. Прямая $SO$ также перпендикулярна $BC$, как высота к прямой основания. Поэтому плоскость $JOT$ перпендикулярна $BC$, а её прямая $JT$ перпендикулярна $BC$. Искомый угол между плоскостями — угол $TJO$. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне $a$: шесть центральных равносторонних треугольников имеют угол $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $OJB$: $$OB=a,\qquad JB=\frac a2,$$ $$OJ^2=OB^2-JB^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4},$$ $$OJ=\frac{a\sqrt3}{2}.$$ Треугольник $JOT$ прямоугольный при $O$, потому что $OT$ лежит на высоте. По определению тангенса: $$\tan\angle TJO=\frac{OT}{OJ}=\frac{h/2}{a\sqrt3/2}=\frac h{a\sqrt3}.$$ Отсюда $$h=a\sqrt3\tan\angle TJO.$$ Подставляем угол и сторону: $$h=8\sqrt3\tan45^\circ=8\sqrt3\cdot1=8\sqrt3.$$ Объём пирамиды $MABF$. Её основание $ABF$ лежит в плоскости основания большой пирамиды. Высота от $M$ до этой плоскости равна $OT=h/2$, поскольку середина наклонного ребра находится на половине высоты. В правильном шестиугольнике точки $B$ и $F$ симметричны относительно $OA$. Поэтому $$BF=a\sqrt3,$$ а расстояние от $A$ до прямой $BF$ равно $a-a/2=a/2$. Следовательно, $$S_{ABF}=\frac12 BF\cdot\frac a2=\frac12\cdot a\sqrt3\cdot\frac a2=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$ Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$V_{MABF}=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac h2=\frac{a^2h\sqrt3}{24}.$$ $$V=\frac{8^2\cdot8\sqrt3\cdot\sqrt3}{24}=\frac{64\cdot8\cdot3}{24}=\frac{1536}{24}=64.$$ Ответ: б) $64$.