В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $BM$ и $CK$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=8,$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды равен $45^{\circ}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $8 \sqrt{3}$.
Решение
План. Угол между плоскостями заменим углом между двумя прямыми, перпендикулярными их линии пересечения. В полученном прямоугольном треугольнике найдём высоту пирамиды.
Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника, $h=SO$, $J$ — середина $BC$, $T$ — середина $MK$. В правильном шестиугольнике противоположные вершины $A$ и $D$ лежат на одной прямой с центром, причём $O$ — середина $AD$.
В треугольнике $SAD$ точки $M$, $K$ — середины сторон. Поэтому
$$MK\parallel AD,\qquad MK=\frac{AD}{2}.$$
Стороны $AD$ и $BC$ параллельны в правильном шестиугольнике; это видно, например, из двух равносторонних треугольников $AOB$ и $COD$. Поэтому $MK\parallel BC$. Две параллельные прямые $MK$ и $BC$ определяют плоскость; в ней находятся все четыре точки $B,M,C,K$. Следовательно, прямые $BM$ и $CK$ лежат в этой одной плоскости, что требовалось доказать в пункте а).
В том же треугольнике гомотетия с центром $S$ и коэффициентом $1/2$ переводит $A,D,O$ соответственно в $M,K,T$. Поэтому $T$ — середина $SO$:
$$OT=\frac h2.$$
Как измерить угол между плоскостями. Плоскость $BMC$ пересекает основание по $BC$. Отрезок $JO$ перпендикулярен $BC$, потому что в правильном многоугольнике линия от центра к середине стороны перпендикулярна ей. Прямая $SO$ также перпендикулярна $BC$, как высота к прямой основания. Поэтому плоскость $JOT$ перпендикулярна $BC$, а её прямая $JT$ перпендикулярна $BC$. Искомый угол между плоскостями — угол $TJO$.
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне $a$: шесть центральных равносторонних треугольников имеют угол $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $OJB$:
$$OB=a,\qquad JB=\frac a2,$$
$$OJ^2=OB^2-JB^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4},$$
$$OJ=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Треугольник $JOT$ прямоугольный при $O$, потому что $OT$ лежит на высоте. По определению тангенса:
$$\tan\angle TJO=\frac{OT}{OJ}=\frac{h/2}{a\sqrt3/2}=\frac h{a\sqrt3}.$$
Отсюда
$$h=a\sqrt3\tan\angle TJO.$$
Подставляем угол и сторону:
$$h=8\sqrt3\tan45^\circ=8\sqrt3\cdot1=8\sqrt3.$$
Ответ: б) $8\sqrt3$.