В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ $—$ середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно.
а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC.$
б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=24,$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30^{\circ}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $4\sqrt{30}$.
Решение
В пункте а) нужно доказать параллельность прямой и плоскости. Для этого построим две средние линии треугольников: они помогут получить вспомогательную плоскость, параллельную заданной. В пункте б) надо найти высоту; там удобно воспользоваться прямоугольным треугольником, который образуют отрезок $MK$, его проекция на основание и перпендикуляр к основанию.
а) Доказательство параллельности.
Обозначим через $N$ середину ребра $SA$. Точки $M,N$ — середины сторон $AB,AS$ треугольника $ABS$. По теореме о средней линии треугольника соединяющий их отрезок параллелен третьей стороне:
$$MN\parallel BS.$$
Теперь рассмотрим треугольник $ASD$. Точки $N,K$ — середины сторон $AS,SD$, поэтому:
$$NK\parallel AD.$$
Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат. Противоположные стороны квадрата параллельны:
$$AD\parallel BC.$$
Следовательно:
$$NK\parallel BC.$$
Прямые $MN$ и $NK$ пересекаются в точке $N$. Прямые $BS$ и $BC$ пересекаются в точке $B$. Мы получили две пары параллельных пересекающихся прямых. По признаку параллельности плоскостей:
$$ (MNK)\parallel(SBC).$$
Это разные плоскости: $M$ лежит на стороне $AB$ основания и не лежит на прямой $BC$, по которой плоскость $SBC$ пересекает основание. Прямая $MK$ целиком лежит в первой из двух параллельных плоскостей, поэтому не пересекает вторую:
$$MK\parallel(SBC).$$
б) Нахождение высоты.
Пусть $h$ — искомая высота пирамиды. Она положительна. Поместим квадрат основания в координатную плоскость $z=0$: одну ось направим вдоль $AB$, другую — вдоль $AD$. Координаты вершин тогда такие:
$$A=(0;0;0),\quad B=(24;0;0),\quad D=(0;24;0),\quad C=(24;24;0).$$
Центр квадрата находится посередине между его противоположными вершинами. Поэтому его первые две координаты равны:
$$\frac{0+24}{2}=12.$$
У правильной пирамиды вершина $S$ находится непосредственно над центром основания. Значит:
$$S=(12;12;h).$$
Координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Применим это отдельно к $AB$ и $SD$:
$$M=\left(\frac{0+24}{2};\frac{0+0}{2};\frac{0+0}{2}\right)=(12;0;0),$$
$$K=\left(\frac{12+0}{2};\frac{12+24}{2};\frac{h+0}{2}\right)=(6;18;h/2).$$
Обозначим проекцию $K$ на основание через $K_0$. При проецировании на $z=0$ первые две координаты сохраняются, а третья становится нулём:
$$K_0=(6;18;0).$$
Точка $M$ уже лежит в основании, поэтому проекция отрезка $MK$ — отрезок $MK_0$. По формуле расстояния между точками плоскости:
$$MK_0=\sqrt{(6-12)^2+(18-0)^2}.$$
Вычтем координаты, возведём полученные числа в квадрат и сложим:
$$MK_0=\sqrt{(-6)^2+18^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=6 \sqrt{10}.$$
Вертикальное расстояние от $K$ до основания равно её третьей координате:
$$KK_0=h/2.$$
Треугольник $MKK_0$ прямоугольный, так как $KK_0$ перпендикулярен основанию, а $MK_0$ лежит в нём. Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией. Поэтому угол $KMK_0$ равен заданным 30°.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Получаем:
$$\tan 30^\circ=\frac{KK_0}{MK_0}=\frac{h/2}{6 \sqrt{10}}.$$
Умножим обе части на $6 \sqrt{10}$:
$$6 \sqrt{10}\tan 30^\circ=h/2.$$
Умножим обе части ещё на 2, чтобы выразить $h$:
$$h=2\cdot6 \sqrt{10}\tan 30^\circ.$$
Подставим табличное значение тангенса:
$$\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3},$$
$$h=2\cdot6 \sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=4 \sqrt{30}.$$
Подстановка найденного $h$ в отношение $KK_0/MK_0$ возвращает значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$, то есть исходный угол выполнен.
Ответ: а) доказано; б) высота пирамиды равна $4 \sqrt{30}$.