ФИПИ 6B5C41 — Стереометрия (2 часть)

План. Диаметр $AB$ создаёт прямой угол в треугольнике $ABC$. Поэтому сумма квадратов хорд $AC$, $BC$ известна. Выразим через эти квадраты косинусы углов при вершине конуса. а) Сумма косинусов. Пусть $l$ — длина образующей, $R$ — радиус основания, $O$ — его центр. В прямом круговом конусе вершина находится над центром, поэтому проекция образующей $SA$ на основание — радиус $OA$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ угол между $SA$ и основанием равен $\angle SAO=60^\circ$. По определению косинуса $$\cos60^\circ=\frac{OA}{SA}=\frac Rl.$$ Следовательно, $$R=\frac l2,\qquad AB=2R=l.$$ Угол $ACB$ опирается на диаметр, значит, равен $90^\circ$. По Пифагору $$AC^2+BC^2=AB^2=l^2.$$ Все образующие равны, поэтому $SA=SB=SC=l$. По теореме косинусов в треугольнике $ASC$: $$AC^2=SA^2+SC^2-2SA\cdot SC\cos\angle ASC,$$ $$AC^2=2l^2-2l^2\cos\angle ASC,$$ $$\cos\angle ASC=1-\frac{AC^2}{2l^2}.$$ Аналогично для $BSC$: $$\cos\angle BSC=1-\frac{BC^2}{2l^2}.$$ Складываем равенства и используем Пифагорову сумму: $$\cos\angle ASC+\cos\angle BSC=2-\frac{AC^2+BC^2}{2l^2},$$ $$\cos\angle ASC+\cos\angle BSC=2-\frac{l^2}{2l^2}=2-\frac12=\frac32=1{,}5.$$ б) Объём тетраэдра. Теперь $l=SC=1$. Из заданного косинуса получаем $$AC^2=2l^2(1-\cos\angle ASC)=2\cdot1^2\left(1-\frac23\right)=2\cdot\frac13=\frac23.$$ Из суммы квадратов: $$BC^2=l^2-AC^2=1-\frac23=\frac13.$$ Треугольник $ABC$ прямоугольный, его площадь: $$S_{ABC}=\frac12 AC\cdot BC=\frac12\sqrt{\frac23}\sqrt{\frac13}=\frac12\sqrt{\frac29}=\frac{\sqrt2}{6}.$$ Высота тетраэдра из $S$ к плоскости $ABC$ совпадает с высотой конуса $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$: $$SO=l\sin60^\circ=1\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ По формуле объёма пирамиды: $$V_{SABC}=\frac13 S_{ABC}\cdot SO=\frac13\cdot\frac{\sqrt2}{6}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{3\cdot6\cdot2}=\frac{\sqrt6}{36}.$$ Ответ: б) $\frac{\sqrt6}{36}$.