В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$,
а на окружности другого основания $—$ точки ${B}_{1}$ и ${C}_{1}$, причём $B{B}_{1}$ $—$ образующая цилиндра, а отрезок $A{C}_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $AB{C}_{1}$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=20$, $B{B}_{1}=15$, ${B}_{1}{C}_{1}=21$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $435\pi$.
Решение
Вначале докажем прямой угол из пункта а). Это не отдельный отвлечённый факт: прямоугольные треугольники позволят затем применять теорему Пифагора и простые формулы площадей.
Обозначим через $C$ проекцию точки $C_1$ на основание, в котором лежат $A,B$. Образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям. Поэтому $CC_1$ и $BB_1$ — параллельные вертикальные отрезки одинаковой длины, а $BC=B_1C_1$.
Почему $AC$ является диаметром? Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. При проецировании на нижнее основание эта ось переходит в центр круга $O$, а отрезок $AC_1$ — в $AC$. Значит, $O$ лежит на $AC$. Обе точки $A,C$ лежат на окружности, поэтому проходящий через центр отрезок $AC$ — диаметр.
а) Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$. По теореме об угле, опирающемся на диаметр, он прямой:
$$\angle ABC=90^\circ,\qquad AB\perp BC.$$
Прямая $BB_1$ перпендикулярна основанию. Прямая $AB$ лежит в этом основании и проходит через $B$, поэтому:
$$AB\perp BB_1.$$
Прямые $BC$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и лежат в одной плоскости $BCC_1B_1$. Прямая $AB$ перпендикулярна обеим. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости она перпендикулярна всей этой плоскости, а значит, и проходящей через $B$ прямой $BC_1$:
$$AB\perp BC_1,\qquad\angle ABC_1=90^\circ.$$
Пункт а) доказан.
б) Найдём площадь боковой поверхности.
Сначала нужен диаметр основания. В прямоугольном треугольнике $ABC$:
$$AB=20,\qquad BC=B_1C_1=21.$$
По теореме Пифагора:
$$AC^2=20^2+21^2.$$
Выполним возведение в квадрат и сложение:
$$AC^2=400+441=841.$$
Длина положительна. Так как $29\cdot29=841$, получаем:
$$AC=29.$$
Это диаметр основания $d$. Высота цилиндра равна образующей:
$$d=29,\qquad h=BB_1=15.$$
Если развернуть боковую поверхность цилиндра, получится прямоугольник. Одна его сторона — высота $h$, другая — длина окружности основания $\pi d$. Поэтому:
$$S_{\text{бок}}=\pi dh.$$
Подставим числа:
$$S_{\text{бок}}=\pi\cdot29\cdot15.$$
Умножим 29 на 15 по частям:
$$29\cdot15=29\cdot(10+5)=290+145=435.$$
Значит:
$$S_{\text{бок}}=435\pi.$$
Ответ: а) угол прямой; б) площадь боковой поверхности равна $435\pi$.