ФИПИ 5F0c14 — Стереометрия (2 часть)

План. Параллельные плоскости пересекают грани по параллельным прямым. Это позволит построить точку $K$ через средние линии. Затем угол прямой с основанием заменим углом с её проекцией и найдём высоту. а) Доказываем, что $K$ — середина $SD$. Пусть плоскость $\alpha$ пересекает $CD$ в точке $P$. Её след в основании параллелен следу плоскости $SBC$, то есть $BC$. Значит, $MP\parallel BC$. Поскольку $ABCD$ — квадрат и $M$ — середина $AB$, параллельная сторонам $BC,AD$ прямая через $M$ пересекает $CD$ в его середине. Следовательно, $P$ — середина $CD$. Теперь рассмотрим грань $SCD$. В ней плоскость $SBC$ оставляет прямую $SC$, а параллельная ей плоскость $\alpha$ — прямую $PK$. Поэтому $$PK\parallel SC.$$ В треугольнике $DSC$ прямая через середину $DC$, параллельная $SC$, пересекает $DS$ в его середине. Получили, что $K$ — середина $SD$. б) Находим высоту. Обозначим сторону квадрата через $a=24$, высоту через $h$. Выберем координаты в основании: $$A(0;0;0),\quad B(a;0;0),\quad C(a;a;0),\quad D(0;a;0),\quad S\left(\frac a2;\frac a2;h\right).$$ Так как $M$ и $K$ — середины соответствующих рёбер, $$M\left(\frac a2;0;0\right),\qquad K\left(\frac a4;\frac{3a}{4};\frac h2\right).$$ Проекция $K$ на основание — точка $K_0(a/4;3a/4;0)$. Проекция отрезка $MK$ — $MK_0$. Находим её длину: $$MK_0^2=\left(\frac a4-\frac a2\right)^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2=\frac{a^2}{16}+\frac{9a^2}{16}=\frac{10a^2}{16},$$ $$MK_0=\frac{a\sqrt{10}}4.$$ В прямоугольном треугольнике $MK_0K$ угол при $M$ — угол прямой $MK$ с основанием, то есть $30^\circ$. Поэтому $$\tan30^\circ=\frac{KK_0}{MK_0}=\frac{h/2}{a\sqrt{10}/4}=\frac{2h}{a\sqrt{10}}.$$ Решаем относительно $h$: $$\frac1{\sqrt3}=\frac{2h}{24\sqrt{10}},\qquad h=\frac{24\sqrt{10}}{2\sqrt3}=\frac{12\sqrt{30}}3=4\sqrt{30}.$$ Площадь основания равна $24^2=576$. Значит, $$V=\frac13\cdot576\cdot4\sqrt{30}=192\cdot4\sqrt{30}=768\sqrt{30}.$$ Ответ: б) $768\sqrt{30}$.