В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6,
а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=4$, $SK:KB=1:3$.
а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{9\sqrt3}{4}$.
Решение
План. Проверим, что плоскость $CKM$ содержит вертикальное направление. Для объёма возьмём треугольник $BCM$ в качестве основания, а высоту опустим из $K$.
Введём координаты равностороннего основания:
$$A(0;0;0),\quad B(6;0;0),\quad C(3;3\sqrt3;0).$$
Его высота равна $\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3$, а центр лежит на трети высоты от $AB$:
$$O(3;\sqrt3;0),\qquad S(3;\sqrt3;h).$$
Радиус до вершины основания:
$$OA^2=3^2+(\sqrt3)^2=9+3=12.$$
Высота пирамиды:
$$h^2=SA^2-OA^2=(\sqrt{21})^2-12=21-12=9,\qquad h=3.$$
Из $AM=4$ получаем $M(4;0;0)$. Отношение $SK:KB=1:3$ означает, что $K$ занимает четверть пути от $S$ к $B$:
$$K=S+\frac14(B-S),$$
$$K=\left(3+\frac34;\sqrt3-\frac{\sqrt3}{4};3-\frac34\right)=\left(\frac{15}{4};\frac{3\sqrt3}{4};\frac94\right).$$
а) Доказываем перпендикулярность плоскостей. Вертикальная плоскость через $CM$ имеет уравнение
$$3\sqrt3 x+y=12\sqrt3.$$
Действительно, подстановка $M$ даёт $3\sqrt3\cdot4=12\sqrt3$, а подстановка $C$ — $9\sqrt3+3\sqrt3=12\sqrt3$. Проверим $K$:
$$3\sqrt3\cdot\frac{15}{4}+\frac{3\sqrt3}{4}=\frac{45\sqrt3+3\sqrt3}{4}=\frac{48\sqrt3}{4}=12\sqrt3.$$
Следовательно, $K$ тоже принадлежит этой плоскости. Координата $z$ в уравнение не входит, поэтому плоскость содержит вертикальные прямые. Они перпендикулярны основанию $ABC$, значит, плоскость $CKM$ перпендикулярна основанию.
б) Считаем объём $BCKM$. В качестве основания берём $BCM$. Отрезок $BM$ лежит на $AB$ и имеет длину
$$BM=AB-AM=6-4=2.$$
Высота из $C$ к прямой $BM$ такая же, как к $AB$, то есть $3\sqrt3$. Поэтому
$$S_{BCM}=\frac12\cdot BM\cdot3\sqrt3=\frac12\cdot2\cdot3\sqrt3=3\sqrt3.$$
Расстояние от $K$ до плоскости $ABC$ равно её третьей координате $9/4$. Применяем формулу объёма пирамиды:
$$V_{BCKM}=\frac13 S_{BCM}\cdot\frac94=\frac13\cdot3\sqrt3\cdot\frac94=\frac{9\sqrt3}{4}.$$
Ответ: б) $\frac{9\sqrt3}{4}$.