В основании прямой треугольной призмы $ABC{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ лежит равнобедренный ( $AB=BC$ ) треугольник $ABC$. Точка $K$ $—$ середина ребра ${A}_{1}{B}_{1}$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$.
а) Докажите, что $KM⊥AC$.
б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $AB{B}_{1}$, если $AB=6$, $AC=8$ и $A{A}_{1}=3$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\arcsin\frac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}}$.
Решение
План. Положение четверти основания и середины верхнего ребра удобно сравнить по координатам. Для угла затем найдём нормаль к боковой грани.
а) Перпендикулярность при любых данных размерах. Пусть $AC=2b$, высота равнобедренного основания из $B$ равна $c$, высота призмы равна $h$. Введём прямоугольные координаты:
$$A(-b;0;0),\quad C(b;0;0),\quad B(0;c;0).$$
Верхние вершины находятся на высоте $z=h$. Поскольку $AM:MC=1:3$, отрезок $AM$ составляет четверть $AC$:
$$AM=\frac{2b}{4}=\frac b2,\qquad M\left(-b+\frac b2;0;0\right)=\left(-\frac b2;0;0\right).$$
Координаты середины $A_1B_1$ — полусуммы координат концов:
$$K\left(\frac{-b+0}{2};\frac{0+c}{2};\frac{h+h}{2}\right)=\left(-\frac b2;\frac c2;h\right).$$
Точки $M$ и $K$ имеют одинаковую первую координату. Поэтому направление $MK$ имеет вид $(0;c/2;h)$, а направление $AC$ — $(2b;0;0)$. Скалярное произведение равно
$$0\cdot2b+\frac c2\cdot0+h\cdot0=0.$$
Значит, $KM\perp AC$.
б) Подставляем размеры. Из $AC=8$ получаем $b=4$. Высота основания находится по Пифагору в половине равнобедренного треугольника:
$$c^2=AB^2-b^2=6^2-4^2=36-16=20,$$
$$c=\sqrt{20}=2\sqrt5.$$
Высота призмы $h=3$. Значит,
$$\overrightarrow{MK}=(0;\sqrt5;3),\qquad |MK|=\sqrt{0^2+(\sqrt5)^2+3^2}=\sqrt{5+9}=\sqrt{14}.$$
Грань $ABB_1$ вертикальна. Её нормаль должна быть горизонтальна и перпендикулярна $AB$. Вектор $AB=(4;2\sqrt5;0)$. Подойдёт
$$\mathbf n=(\sqrt5;-2;0),$$
поскольку
$$\mathbf n\cdot\overrightarrow{AB}=4\sqrt5-4\sqrt5=0.$$
Длина нормали:
$$|\mathbf n|=\sqrt{(\sqrt5)^2+(-2)^2}=\sqrt{5+4}=3.$$
Угол прямой с плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол с её нормалью. Поэтому для искомого угла $\varphi$ используем синус:
$$\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{MK}\cdot\mathbf n|}{|MK||\mathbf n|}.$$
Вычисляем числитель:
$$|0\cdot\sqrt5+\sqrt5\cdot(-2)+3\cdot0|=|-2\sqrt5|=2\sqrt5.$$
Следовательно,
$$\sin\varphi=\frac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}},\qquad \varphi=\arcsin\frac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}}.$$
Ответ: б) $\arcsin\frac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}}$.