ФИПИ eFF32e — Угол между прямой и плоскостью

План. Вертикальная плоскость не меняет горизонтальное положение точек при подъёме. Запишем её след в квадрате, а равенство двух сторон равностороннего сечения превратим в равенство двух отрезков на сторонах квадрата. После этого найдём размеры пирамиды по площади сечения и объёму. Пусть сторона квадрата $d$, высота пирамиды $h$. Выберем координаты $$A(0;0;0),\quad B(d;0;0),\quad D(0;d;0),\quad C(d;d;0),\quad S\left(\frac d2;\frac d2;h\right).$$ Точка $K$ внутри ребра $SA$ имеет одинаковые первые координаты, поэтому запишем $$K(w;w;z).$$ Треугольное сечение через внутреннюю точку $SA$ отсекает угол у $A$: две другие его вершины лежат на $AB$ и $AD$. Обозначим их $$U(u;0;0),\qquad V(0;v;0),\qquad u,v>0.$$ Поясним, почему не появляются вершины на других рёбрах. Вертикальная плоскость задаётся линейным выражением от $x,y$. Его значения в $S$ и центре $O$ одинаковы; значение в $O$ — среднее значений в противоположных вершинах квадрата. Плоскость пересекает $SA$, поэтому $A$ и $S$ по разные её стороны, а $C$ — на стороне $S$. Если бы $B$ или $D$ также оказалась на стороне $A$, плоскость пересекала бы два боковых и два основных ребра, то есть сечение имело бы четыре вершины. Треугольное сечение возможно только при $B,D$ на стороне $S$, и тогда пересекаются именно $SA,AB,AD$. а) Используем равенство сторон. Вертикальная плоскость через $U,V$ имеет уравнение $$\frac xu+\frac yv=1.$$ Координата $z$ не входит: плоскость содержит вертикальное направление. Подстановка $K$: $$\frac wu+\frac wv=1,\qquad w\frac{u+v}{uv}=1,\qquad w=\frac{uv}{u+v}.$$ Поскольку сечение равностороннее, $KU=KV$. Расписываем квадраты длин по координатам: $$KU^2=(u-w)^2+w^2+z^2,$$ $$KV^2=w^2+(v-w)^2+z^2.$$ Приравниваем и сокращаем одинаковые слагаемые: $$u^2-2uw+w^2=v^2-2vw+w^2,$$ $$u^2-v^2-2w(u-v)=0,$$ $$ (u-v)(u+v-2w)=0.$$ Проверим второй множитель: $$u+v-2w=u+v-\frac{2uv}{u+v}=\frac{(u+v)^2-2uv}{u+v},$$ $$u+v-2w=\frac{u^2+2uv+v^2-2uv}{u+v}=\frac{u^2+v^2}{u+v}>0.$$ Следовательно, нулю равен первый множитель: $$u-v=0,\qquad u=v.$$ Плоскость теперь имеет уравнение $x+y=u$, её нормаль $(1;1;0)$. Направление диагонали $AC=(d;d;0)$ параллельно этой нормали. Значит, $$\alpha\perp AC.$$ б) Находим размеры сечения. Пусть его сторона $s$. Высота равностороннего треугольника по Пифагору равна $\sqrt{s^2-(s/2)^2}=s\sqrt3/2$. Поэтому площадь $$S=\frac12s\cdot\frac{s\sqrt3}{2}=\frac{s^2\sqrt3}{4}.$$ Подставляем заданное значение: $$\frac{s^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3,\qquad s^2=16,\qquad s=4.$$ Так как $u=v$, длина основания $UV$: $$UV=\sqrt{u^2+u^2}=u\sqrt2=4,$$ $$u=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2.$$ Из формулы для $w$ при $u=v$: $$w=\frac{u^2}{2u}=\frac u2.$$ Проекция $K$ на основание — $(u/2;u/2;0)$, то есть середина $UV$. Вертикаль через неё перпендикулярна $UV$, значит, высота равностороннего сечения равна третьей координате $K$: $$z=\frac{s\sqrt3}{2}=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3.$$ Связь с размерами пирамиды. Пусть $t=AK/AS$. На ребре от $A$ к $S$ координаты имеют вид $(td/2;td/2;th)$. Сравниваем с $K(u/2;u/2;z)$: $$\frac{td}{2}=\frac u2,\qquad th=z,$$ $$t=\frac ud=\frac zh,\qquad \frac hd=\frac zu=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt2}=\sqrt{\frac32}.$$ По условию объём равен $18\sqrt3$: $$\frac{d^2h}{3}=18\sqrt3.$$ Подставляем $h=d\sqrt{3/2}$ и умножаем на 3: $$d^3\sqrt{\frac32}=54\sqrt3,$$ $$d^3=54\sqrt3\sqrt{\frac23}=54\sqrt2.$$ Замечаем, что $$ (3\sqrt2)^3=27\cdot2\sqrt2=54\sqrt2.$$ Поскольку $d>0$, получаем $$d=3\sqrt2,\qquad h=d\sqrt{\frac32}=3\sqrt3.$$ Теперь доля ребра: $$\frac{AK}{AS}=\frac ud=\frac{2\sqrt2}{3\sqrt2}=\frac23,$$ $$\frac{SK}{AS}=1-\frac23=\frac13.$$ Следовательно, $$SK:KA=\frac13:\frac23=1:2.$$ Ответ: б) $1:2$, считая от $S$.