На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше $1395=3+6+\ldots +90$, если все числа на доске кратны 3?
б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6
Решение
Внутри каждого цвета числа различны, но зелёное и красное числа могут совпадать. Это важно: нельзя требовать, чтобы все 30 чисел были различными. Для минимального количества красных сначала найдём наименьшую сумму при заданном их количестве, а затем построим пример.
а) Возьмём 29 зелёных чисел $3,6,\ldots,87$ и одно красное число 21. Красное число 21 делится и на 7, и на 3. Поэтому все написанные числа кратны 3.
Чтобы сложить зелёные числа, вынесем множитель 3. Сумму от 1 до 29 можно найти, сложив её с той же суммой в обратном порядке: каждая из 29 пар даст 30. Поэтому удвоенная сумма равна $29\cdot30$.
$$
3+6+\ldots+87=3(1+2+\ldots+29)=3\cdot\frac{29\cdot30}{2}=1305.
$$
Вместе с красным числом:
$$
1305+21=1326<1395.
$$
Совпадение красного 21 с зелёным 21 разрешено. Ответ: да.
б) При одном красном остаётся 29 различных зелёных. Их сумма не меньше 1305, а наименьшее натуральное красное число равно 7. Значит:
$$
\text{общая сумма}\ge1305+7=1312>1067.
$$
Ответ: нет.
в) Пусть красных $r$, тогда зелёных $30-r$. Наименьшие возможные зелёные — первые $30-r$ положительных кратных 3. Наименьшие красные — первые $r$ положительных кратных 7. По той же формуле суммы последовательных чисел нижняя граница равна:
$$
L(r)=3\frac{(30-r)(31-r)}2+7\frac{r(r+1)}2.
$$
Для доказательства, что красных нужно хотя бы шесть, достаточно проверить все меньшие неотрицательные количества. Покажем обе части суммы:
$$
\begin{array}{c|r|r|r}
r&\text{зелёные}&\text{красные}&L(r)\\\hline
0&3\cdot30\cdot31/2=1395&0&1395\\
1&3\cdot29\cdot30/2=1305&7&1312\\
2&3\cdot28\cdot29/2=1218&7\cdot2\cdot3/2=21&1239\\
3&3\cdot27\cdot28/2=1134&7\cdot3\cdot4/2=42&1176\\
4&3\cdot26\cdot27/2=1053&7\cdot4\cdot5/2=70&1123\\
5&3\cdot25\cdot26/2=975&7\cdot5\cdot6/2=105&1080
\end{array}
$$
Каждый результат больше 1067. Теперь проверим, что шесть красных действительно достаточно. Возьмём зелёные $3,6,\ldots,69,78$ — их $23+1=24$, и красные $7,14,21,28,35,56$ — их шесть.
$$
3+6+\ldots+69+78=3\cdot\frac{23\cdot24}{2}+78=828+78=906;
$$
$$
7+14+21+28+35+56=21+21+28+35+56=161;
$$
$$
906+161=1067.
$$
Внутри каждого цвета повторений нет, все требования выполнены. Ответ: а) да; б) нет; в) 6.