На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72.$
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $144$.
Решение
Здесь важно не перебирать наборы карточек наугад, а связать количество карточек с количеством допустимых чисел. Сначала получим ограничения для любого набора, затем построим набор, в котором достигается наибольшее количество.
Обозначим количество синих карточек через $b$, красных — через $r$. Оба числа натуральные, поскольку карточки каждого цвета есть. По условию:
наибольшее синее число равно $r$, а наибольшее красное число равно $2b$.
На синей карточке может стоять только число, делящееся на 3. В частности, максимальное синее число $r$ тоже делится на 3. Поэтому введём натуральное $t$:
$$r=3t.$$
Все числа строго больше $-72$. Значит, допустимые синие числа начинаются с $-69$ и идут с шагом 3 до $3t$:
$$-69,\ -66,\ldots,0,\ldots,3t.$$
Количество членов арифметической прогрессии равно разности последнего и первого, делённой на шаг, плюс 1. Получаем:
$$\frac{3t-(-69)}{3}+1=\frac{3t+69}{3}+1=t+23+1=t+24.$$
Синие числа должны быть различны. Поэтому синих карточек не может быть больше, чем допустимых чисел:
$$b\le t+24.$$
Точно так же красные числа начинаются с $-70$ и идут с шагом 2 до максимального числа $2b$:
$$-70,\ -68,\ldots,0,\ldots,2b.$$
Посчитаем их:
$$\frac{2b-(-70)}{2}+1=b+35+1=b+36.$$
Поэтому:
$$r\le b+36.$$
Подставим $r=3t$:
$$3t\le b+36.$$
Используем уже доказанную верхнюю границу $b\le t+24$:
$$3t\le t+24+36=t+60.$$
Вычтем $t$ из обеих частей:
$$2t\le60.$$
Разделим на положительное число 2:
$$t\le30.$$
Отсюда отдельно получаем границы для обоих цветов:
$$r=3t\le3\cdot30=90,$$
$$b\le t+24\le30+24=54.$$
а) Пример малого набора.
Возьмём одну синюю карточку с числом 3 и 3 красных карточек с числами:
$$-2,\ 0,\ 2.$$
Все красные числа различны и делятся на 2; их наибольшее число равно 2. Все синие числа (здесь оно одно) делятся на 3. Максимальное синее число 3 равно количеству красных карточек. Максимальное красное число 2 равно $2\cdot1$, то есть нужному кратному количества синих. Все эти числа больше $-72$. Всего карточек $1+3=4$; это и требуется в пункте а). Значит, ответ — да.
б) Из $r\le b+36$ вычтем $b$ из обеих частей: $$r-b\le36.$$ Поэтому красных может быть больше синих не более чем на 36. Требуемая разность 60 больше 36, значит, она невозможна.
в) Найдём максимум и убедимся, что полученная граница достижима.
Сложим границы по цветам: $$b+r\le54+90=144.$$ Значит, всего не больше 144 карточек.
Для построения предельного набора возьмём все синие числа от $-69$ до 90 с шагом 3. Их количество:
$$\frac{90-(-69)}{3}+1=\frac{159}{3}+1=53+1=54.$$
Красными возьмём все числа от $-70$ до 108 с шагом 2. Их количество:
$$\frac{108-(-70)}{2}+1=\frac{178}{2}+1=89+1=90.$$
Проверим условия на максимумы:
максимальное синее число 90 равно количеству красных 90;
максимальное красное число 108 равно:
$$2\cdot54=108.$$
Все числа одного цвета различны, поскольку выписаны с положительным шагом. Совпадение числа между разными цветами разрешено условием. Нижняя граница также соблюдена: первые числа строго больше $-72$.
Таким образом, верхняя граница достигается. Наибольшее общее количество карточек равно $54+90=144$.