По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.
а) Может ли $N$ быть равным 360?
б) Может ли $N$ быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение $N.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 266.
Решение
Пронумеруем числа по кругу: $a_1,\ldots,a_N$, после конца индексы начинаются снова. Сумма четырёх соседних чисел делится на 3, а сумма любых трёх — нет. Вычтем из четырёхчленной суммы последние три слагаемых. Остаток равен первому числу. Если бы оно делилось на 3, оставшиеся три тоже давали бы сумму, кратную 3, что запрещено. Значит, ни одно из расставленных чисел не делится на 3.
Следовательно, у каждого остаток 1 или 2. Рассмотрим четыре соседние позиции. Если среди них $q$ остатков 2 и $4-q$ остатков 1, сумма остатков:
$$
2q+(4-q)=4+q.
$$
При $q=0,1,2,3,4$ это $4,5,6,7,8$. На 3 делится только 6. Значит, в каждой четвёрке ровно два остатка 1 и два остатка 2.
Ещё сравним две соседние суммы четырёх: их разность равна $a_{i+4}-a_i$. Обе суммы кратны 3, поэтому разность кратна 3; остатки повторяются через четыре позиции.
а) От 1 до 400 кратных 3 ровно 133, поскольку $3\cdot133=399$, а $3\cdot134=402>400$. Некратных:
$$
400-133=267.
$$
Все числа должны быть различными и некратными 3, поэтому взять 360 невозможно. Ответ: нет.
б) При нечётном $N$ движение по кругу на четыре позиции посещает все места. Действительно, для возвращения через $j$ таких шагов число $4j$ должно делиться на $N$; у нечётного $N$ нет общих простых множителей с 4, поэтому первое возвращение будет только при $j=N$. Остаток повторяется через четыре позиции, значит, при таком обходе все числа имели бы один остаток. Но в каждой четвёрке мы обязаны иметь два остатка 1 и два остатка 2. Противоречие. Поэтому любое нечётное $N$, в частности 149, невозможно. Ответ: нет.
в) Мы получили $N\le267$. Значение 267 нечётно и тоже невозможно, значит, $N\le266$. Проверим 266: возьмём все числа от 1 до 399, не кратные 3, и расположим по порядку:
$$
1,2,4,5,7,8,\ldots,397,398.
$$
Это 133 пары с остатками 1,2, то есть $133\cdot2=266$ различных чисел. Они не превосходят 400. Круг замыкается с остатка 2 на остаток 1, поэтому чередование не нарушается. Любые четыре имеют остатки 1,2,1,2 и сумму $1+2+1+2=6$, кратную 3. Любые три имеют сумму остатков $1+2+1=4$ или $2+1+2=5$; ни одна не делится на 3.
Все условия выполнены. Ответ: а) нет; б) нет; в) 266.