На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?
в) Найдите наибольшее возможное значение $k.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $139$.
Решение
Последовательные числа образуют непрерывный отрезок целых чисел. Кратные 20 стоят через 20, а кратные 23 — через 23. Сравним, насколько длинным может быть такой отрезок.
а) Подходит отрезок от 69 до 138 включительно. В нём кратные 20 — это $80,100,120$, то есть три числа. Кратные 23 — это $69,92,115,138$, то есть четыре числа. Предыдущее кратное 20 равно 60 и уже не входит, следующее равно 140 и ещё не входит. Ответ: да.
Для пунктов б) и в) обозначим через $m$ количество кратных 20. Тогда кратных 23 должно быть хотя бы $m+1$. Между первым и последним из $m+1$ кратных 23 находится $m$ промежутков длины 23. Поэтому разность крайних чисел отрезка не меньше $23m$. Количество целых чисел на отрезке на единицу больше разности концов:
$$
k\ge23m+1.
$$
Теперь получим верхнюю границу длины при ровно $m$ кратных 20. Если первое из них $20q$, то последнее $20(q+m-1)$. Чтобы не захватить соседние кратные 20, левый конец не может быть меньше $20(q-1)+1$, а правый — больше $20(q+m)-1$. Поэтому:
$$
k\le[20(q+m)-1]-[20(q-1)+1]+1=20(m+1)-1=20m+19.
$$
Если $m=0$, отрезок лежит между двумя соседними кратными 20 и тоже имеет длину не больше 19, так что граница сохраняется. Совмещаем обе оценки:
$$
23m+1\le20m+19;
$$
$$
23m-20m\le19-1;\qquad3m\le18;\qquad m\le6.
$$
б) Десять кратных 20 потребовали бы $m=10$, но мы доказали $m\le6$. Ответ: нет.
в) Подставим наибольшее допустимое $m$ в границу длины:
$$
k\le20m+19\le20\cdot6+19=120+19=139.
$$
Осталось проверить, что 139 достигается. Возьмём все числа от 161 до 299:
$$
299-161+1=139.
$$
Кратных 20 здесь шесть: $180,200,220,240,260,280$. Кратных 23 семь: $161,184,207,230,253,276,299$. Значит, условие выполнено. Ответ: а) да; б) нет; в) 139.