На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых
равна 5120.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
Решение
Для всех пунктов используем одно наблюдение: если натуральные числа различны и их нужно взять как можно меньшей суммы, выбираем самые маленькие разрешённые числа. Сумма последовательных чисел от 1 до $n$ равна $n(n+1)/2$: можно сложить ряд с таким же рядом в обратном порядке, и каждая из $n$ пар даст $n+1$, после чего разделить на 2.
а) Если на доске есть 230, остальные 99 различных натуральных чисел имеют сумму не меньше суммы 1–99:
$$1+2+\ldots+99=\frac{99\cdot100}{2}=99\cdot50=4950.$$
Тогда общая сумма не меньше:
$$4950+230=5180.$$
Но $5180>5120$. Значит, число 230 присутствовать не может.
б) Предположим, что числа 14 нет. Чтобы набрать сто различных натуральных чисел с наименьшей суммой, берём 1–101 и исключаем 14. Сумма равна:
$$\frac{101\cdot102}{2}-14=101\cdot51-14=5151-14=5137.$$
Любой другой набор без 14 будет не меньше по сумме. Однако $5137>5120$, что невозможно. Следовательно, 14 на доске обязательно есть.
в) Начнём с самого маленького набора ста различных натуральных чисел — 1–100. Его сумма:
$$\frac{100\cdot101}{2}=50\cdot101=5050.$$
До требуемых 5120 можно увеличить сумму только на:
$$5120-5050=70.$$
В исходном наборе семь чисел, кратных 14:
$$14,28,42,56,70,84,98.$$
Если хотим оставить не больше трёх, нужно убрать хотя бы четыре из них. Вместо четырёх удалённых чисел придётся добавить четыре других: внутри 1–100 все остальные числа уже присутствуют, поэтому новые должны быть больше 100.
Чтобы прибавка была как можно меньше, удаляем самые большие из указанных кратных и добавляем самые маленькие новые числа. Даже этот самый выгодный обмен даёт прибавку:
$$101+102+103+104-(56+70+84+98).$$
Вычислим обе суммы:
$$101+102+103+104=410,$$
$$56+70+84+98=126+182=308,$$
$$410-308=102.$$
Дополнительные обмены тоже увеличивают сумму: каждое новое число больше 100, а каждое удаляемое не больше 100. Поэтому сделать прибавку меньше 102 таким способом нельзя. Но в запасе лишь 70. Противоречие доказывает, что кратных 14 должно быть хотя бы четыре.
Построим набор ровно с четырьмя такими числами. Из 1–100 удалим 70,84,98, а добавим 101,102,119. Проверим изменение суммы:
$$70+84+98=154+98=252,$$
$$101+102+119=203+119=322,$$
$$5050-252+322=5050+70=5120.$$
Количество чисел осталось равным 100, все они различны и натуральны. Новые числа 101,102,119 на 14 не делятся. Остались ровно четыре кратных:
$$14,28,42,56.$$
Следовательно, наименьшее количество равно четырём.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.