На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20.
а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся
на 21?
б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся
на 15?
в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) $23$.
Решение
Обозначим через $L$ количество записанных последовательных чисел. Сначала найдём границы $L$ из условия «ровно пять кратных 20».
Между первым и пятым кратными 20 четыре промежутка по 20. Поэтому отрезок содержит хотя бы:
$$
L\ge4\cdot20+1=81
$$
число. До первого кратного можно добавить не больше 19 чисел, иначе появится ещё одно кратное 20. После последнего тоже не больше 19. Поэтому:
$$
L\le81+19+19=119.
$$
а) Возьмём отрезок от 21 до 126. Кратные 20 на нём: $40,60,80,100,120$ — пять. Кратные 21: $21,42,63,84,105,126$ — шесть. Следовательно, больше пяти кратных 21 быть может. Ответ: да.
б) В любых 15 последовательных целых числах есть ровно одно кратное 15: их остатки при делении на 15 проходят все значения от 0 до 14. Поэтому в любых 75 последовательных числах можно выделить пять непересекающихся блоков по 15 и получить не меньше пяти кратных 15.
Мы доказали $L\ge81>75$, значит, такой блок из 75 чисел обязательно содержится среди записанных. Меньше пяти кратных 15 быть не может. Ответ: нет.
в) «Больше пяти» означает хотя бы шесть кратных $k$. Между первым и шестым не менее пяти промежутков длины $k$, значит, разность концов всего отрезка не меньше $5k$. А из $L\le119$ следует, что эта разность не больше $119-1=118$. Поэтому:
$$
5k\le118;\qquad k\le\frac{118}{5}=23{,}6.
$$
Так как $k$ целое, $k\le23$. Проверим достижимость 23: возьмём отрезок $23,24,\ldots,138$. На нём шесть кратных 23:
$$
23,46,69,92,115,138.
$$
Кратных 20 ровно пять: $40,60,80,100,120$; соседние 20 и 140 не входят. Значит, 23 возможно и является максимумом.
Ответ: а) да; б) нет; в) 23.