В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $A{A}_{1},$ $B{B}_{1}$ и $C{C}_{1}$ пересекаются
в точке $H$. Через точку ${C}_{1}$ параллельно высоте $B{B}_{1}$ проведена прямая, пересекающая высоту $A{A}_{1}$ в точке $K.$
а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot {C}_{1}H.$
б) Найдите отношение площадей треугольников ${C}_{1}HK$ и $ABC,$ если $AB=6,$ $BC=4,$ $AC=5.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\dfrac{81}{448}$.
Решение
План. Докажем подобие маленького треугольника $C_1HK$ исходному. Тогда отношение площадей сведётся к квадрату отношения двух сторон. Для чисел найдём основание высоты $C_1$ и положение ортоцентра $H$.
а) Сначала уточним расположение точек. В остроугольном треугольнике основания высот находятся на самих сторонах, а ортоцентр $H$ — внутри. Точка $C_1$ лежит на $AB$. Поскольку $C_1K\parallel BB_1$, то и $C_1K\parallel BH$. В треугольнике $ABH$ прямая через внутреннюю точку $C_1$ стороны $AB$, параллельная $BH$, пересекает $AH$ внутри. Значит, $K$ находится между $A$ и $H$.
Прямая $HC_1$ — высота из $C$, поэтому перпендикулярна $AB$. Прямая $C_1K$ параллельна высоте из $B$, поэтому перпендикулярна $AC$. Угол между этими двумя лучами равен острому углу между $AB$ и $AC$:
$$\angle HC_1K=\angle BAC.$$
А прямые $HC_1$ и $HK$ перпендикулярны соответственно $AB$ и $BC$. С учётом $K\in AH$ угол при $H$ равен углу при $B$:
$$\angle C_1HK=\angle ABC.$$
По двум углам треугольники подобны, причём соответствуют вершины $C_1\leftrightarrow A$, $H\leftrightarrow B$, $K\leftrightarrow C$. Следовательно,
$$\frac{KH}{BC}=\frac{C_1H}{AB}.$$
Умножаем на $AB\cdot BC$:
$$AB\cdot KH=BC\cdot C_1H.$$
б) Находим $AC_1$. Обозначим $AC_1=u$, $CC_1=v$. Из теоремы косинусов в исходном треугольнике
$$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}.$$
В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ имеем $u=AC\cos A$, поэтому
$$u=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB}=\frac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot6},$$
$$u=\frac{36+25-16}{12}=\frac{45}{12}=\frac{15}{4}.$$
Тогда
$$BC_1=AB-AC_1=6-\frac{15}{4}=\frac{24-15}{4}=\frac94.$$
По Пифагору в $ACC_1$:
$$v^2=AC^2-u^2=25-\left(\frac{15}{4}\right)^2=\frac{400-225}{16}=\frac{175}{16},$$
$$v=\frac{\sqrt{175}}4=\frac{5\sqrt7}{4}.$$
Находим $C_1H$. В треугольнике $AC_1H$ прямой угол при $C_1$, а угол $C_1AH$ дополняет $B$ до $90^\circ$, потому что $AH\perp BC$. Следовательно,
$$\frac{C_1H}{AC_1}=\tan(90^\circ-B)=\cot B.$$
В прямоугольном треугольнике $BCC_1$:
$$\cot B=\frac{BC_1}{CC_1}=\frac{9/4}{5\sqrt7/4}=\frac9{5\sqrt7}.$$
Поэтому
$$C_1H=\frac{15}{4}\cdot\frac9{5\sqrt7}=\frac{135}{20\sqrt7}=\frac{27}{4\sqrt7}.$$
Отношение площадей. У подобных треугольников и основание, и высота изменяются в один коэффициент, поэтому площадь изменяется в квадрат этого коэффициента. Стороне $AB$ соответствует $C_1H$:
$$\frac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{C_1H}{AB}\right)^2=\left(\frac{27}{4\sqrt7}\cdot\frac16\right)^2,$$
$$\frac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{27}{24\sqrt7}\right)^2=\frac{729}{576\cdot7}=\frac{729}{4032}=\frac{81}{448}.$$
Ответ: б) $\frac{81}{448}$.