ФИПИ B5D2B2 — Треугольники и их свойства

Все искомые отношения сохраняются, если увеличить или уменьшить весь рисунок в одинаковое число раз. Поэтому для вычислений примем сторону равностороннего треугольника за 1. В пункте с площадями используем только их отношение, которое от такого выбора не меняется. Шаг 1. Введём координаты и найдём $E$. Расположим $A=(0;0)$, $C=(1;0)$, $B=(1/2;\sqrt3/2)$. Высота равностороннего треугольника со стороной1 равна $\sqrt{1-(1/2)^2}=\sqrt3/2$. Пусть $M=(t;0)$, где $0<t<1$. Тогда $AM=t$, $CM=1-t$. Пусть $AE=z$. Так как $AB=1$, точка на этой стороне имеет координаты $E=(z/2;\sqrt3z/2)$, а $EB=1-z$. По определению серединного перпендикуляра $EB=EM$. Возводим в квадрат: $$(1-z)^2=(z/2-t)^2+(\sqrt3z/2)^2.$$ Раскрываем оба квадрата: $$1-2z+z^2=z^2/4-zt+t^2+3z^2/4=z^2-zt+t^2.$$ Сокращаем $z^2$, переносим слагаемые при $z$ вправо: $$1-t^2=2z-zt=(2-t)z,\qquad z=\frac{1-t^2}{2-t}.$$ Следовательно, $AE=(1-t^2)/(2-t)$. Шаг 2. Найдём $CK$. Пусть $BK=u$. Поскольку $BC=1$, точка $K$ имеет координаты $(1/2+u/2;\sqrt3(1-u)/2)$, а $CK=1-u$. Условие $KB=KM$ после возведения в квадрат даёт $$u^2=\left(\frac{1+u-2t}{2}\right)^2+\frac{3(1-u)^2}{4}.$$ Умножаем на4 и раскрываем квадраты: $$4u^2=1+u^2+4t^2+2u-4t-4ut+3-6u+3u^2.$$ Собираем слагаемые справа: $u^2+3u^2=4u^2$, $1+3=4$, $2u-6u=-4u$: $$4u^2=4u^2+4+4t^2-4t-4u-4ut.$$ Вычитаем $4u^2$ и делим на4: $$0=1+t^2-t-u-ut,\qquad (1+t)u=1-t+t^2.$$ Отсюда $u=(1-t+t^2)/(1+t)$. Значит, $$CK=1-u=\frac{1+t-(1-t+t^2)}{1+t}=\frac{2t-t^2}{1+t}=\frac{t(2-t)}{1+t}.$$ Шаг 3. Докажем подобие и равенство нужных углов. Разложим разность квадратов: $1-t^2=(1-t)(1+t)$. Поэтому $$\frac{AE}{CM}=\frac{(1-t)(1+t)}{(2-t)(1-t)}=\frac{1+t}{2-t}.$$ Второе отношение: $$\frac{AM}{CK}=\frac{t}{t(2-t)/(1+t)}=\frac{1+t}{2-t}.$$ Сокращения допустимы: $0<t<1$. Углы между сравниваемыми сторонами равны: $\angle EAM=\angle MCK=60^\circ$, это углы исходного равностороннего треугольника. Итак, две стороны пропорциональны и угол между ними одинаков. По этому признаку $\triangle AEM\sim\triangle CMK$, причём $A$ соответствует $C$, $E$ — $M$, $M$ — $K$. Поэтому $\angle AEM=\angle CMK$. Пункт а доказан в обеих формулировках. Коэффициент подобия первого треугольника ко второму: $$k=\frac{1+t}{2-t}.$$ Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: $S_{AEM}/S_{CMK}=k^2$. Шаг 4. Найдём $AM:MC$ по площадям. Из $S_{AEM}=4$ и $S_{CMK}=9$ следует $k^2=4/9$. Коэффициент — отношение положительных длин, поэтому $k=2/3$. Подставляем его выражение: $$\frac{1+t}{2-t}=\frac23.$$ Умножаем на $3(2-t)>0$: $$3(1+t)=2(2-t),\qquad3+3t=4-2t.$$ Переносим $-2t$ влево, 3 вправо: $$5t=1,\qquad t=1/5.$$ Тогда $CM=1-t=4/5$, поэтому $AM:MC=(1/5):(4/5)=1:4$. Проверка: $k=(1+1/5)/(2-1/5)=(6/5)/(9/5)=2/3$, квадрат действительно $4/9$. Ответ: а) подобие доказано; б) $AM:MC=1:4$.