В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM=BC$ и $CN=AC$.
а) Отрезки $CP$ и $CQ$ $—$ медианы треугольников $ABC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
б) Прямые $MN$ и $AB$ пересекаются в точке $K$, а прямые $BM$ и $AN$ $—$
в точке $L$. Найдите $KL$, если $BC=1$, а $AC=5$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{12\sqrt{13}}{13}$.
Решение
Нужно доказать перпендикулярность двух медиан, а затем найти расстояние между пересечениями четырёх прямых. Координаты вдоль катетов позволяют записать и середины, и уравнения прямых.
Выберем прямоугольную систему координат вдоль катетов: $C=(0;0)$, $A=(a;0)$, $B=(0;b)$, где $a=AC>0$, $b=BC>0$. Это удобно: прямой угол уже задан осями, а координаты середин получаются делением пополам. Для любых точек $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ квадрат расстояния равен $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ — это теорема Пифагора для горизонтального и вертикального перемещений.
Шаг 1. Найдём направления медиан.
Из $CM=BC=b$ получаем $M=(b;0)$. Точка $N$ лежит на продолжении $BC$ за $C$, поэтому её вертикальная координата отрицательна: $N=(0;-a)$, поскольку $CN=AC=a$.
Концы медиан — середины противоположных сторон. Следовательно,
$$P=(a/2;b/2),\qquad Q=(b/2;-a/2).$$
Так как обе медианы начинаются в начале координат, их направляющие векторы имеют те же координаты. Скалярное произведение:
$$\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CQ}=\frac a2\cdot\frac b2+\frac b2\cdot\left(-\frac a2\right)=\frac{ab}4-\frac{ab}4=0.$$
Нулевое скалярное произведение ненулевых векторов означает прямой угол. Значит, $CP\perp CQ$. Пункт а доказан.
Шаг 2. Найдём $K$ при $a=5$, $b=1$.
Теперь $A=(5;0)$, $B=(0;1)$, $M=(1;0)$, $N=(0;-5)$. Уравнение $AB$: $x/5+y=1$, то есть $x+5y=5$. Уравнение $MN$: $x-y/5=1$, то есть $5x-y=5$. Из второго $y=5x-5$. Подставляем в первое:
$$x+5(5x-5)=5,$$
$$x+25x-25=5,\qquad26x=30,\qquad x=15/13.$$
$$y=5\cdot15/13-5=75/13-65/13=10/13.$$
Поэтому $K=(15/13;10/13)$.
Шаг 3. Найдём $L$.
Прямая $BM$ проходит через $(0;1)$ и $(1;0)$, поэтому $x+y=1$. Прямая $AN$ проходит через $(5;0)$ и $(0;-5)$, поэтому $y=x-5$. Подставляем:
$$x+(x-5)=1,\qquad2x=6,\qquad x=3,\qquad y=3-5=-2.$$
Значит, $L=(3;-2)$.
Шаг 4. Вычислим длину по теореме Пифагора.
$$\Delta x=3-15/13=39/13-15/13=24/13,$$
$$\Delta y=-2-10/13=-26/13-10/13=-36/13.$$
$$KL=\sqrt{(24/13)^2+(-36/13)^2}=\frac{\sqrt{576+1296}}{13}=\frac{\sqrt{1872}}{13}.$$
Выделяем квадрат: $1872=144\cdot13$, поэтому $KL=12\sqrt{13}/13$.
Проверка $K$: $15/13+5\cdot10/13=65/13=5$, $5\cdot15/13-10/13=65/13=5$. Проверка $L$: $3+(-2)=1$, $-2=3-5$.
Ответ: а) медианы перпендикулярны; б) $KL=12\sqrt{13}/13$.