В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $30^{\circ},$ отрезки $AH$ и $AM$ $—$ высота
и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM.$
Отрезок $MQ$ $—$ высота треугольника $AMC,$ а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F.$ Известно, что луч $AM$ $—$ биссектриса угла $CAH.$
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $CMF,$ если $AB=8.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $16\sqrt3$.
Решение
Нужно доказать, что большой треугольник прямоугольный, и найти площадь $CMF$. Сначала используем биссектрису в треугольнике $CAH$: она определяет положение основания высоты $H$. Затем найдём пересечение двух высотных прямых.
Шаг 1. Введём координаты и используем биссектрису.
Выберем $C=(0;0)$, $B=(b;0)$, $M=(b/2;0)$, поскольку $M$ — середина $BC$. Пусть $A=(u;v)$, где $v>0$. Основание высоты $AH$ имеет координаты $H=(u;0)$. Из расположения $H$ на $BM$ следует $b/2<u<b$.
Угол $ACB=30^\circ$, поэтому $\tan30^\circ=v/u=1/\sqrt3$, то есть $v=u/\sqrt3$.
В прямоугольном треугольнике $CAH$ катет $AH$ лежит напротив $30^\circ$ и равен половине гипотенузы: $AC/AH=2$.
Точка $M$ находится между $C$ и $H$, а $AM$ — биссектриса угла $CAH$. По теореме о биссектрисе:
$$\frac{CM}{MH}=\frac{AC}{AH}=2.$$
Здесь $CM=b/2$, $MH=u-b/2$. Поэтому
$$\frac{b/2}{u-b/2}=2,\qquad b/2=2u-b,$$
$$2u=3b/2,\qquad u=3b/4.$$
Тогда $v=u/\sqrt3=3b/(4\sqrt3)=\sqrt3b/4$.
Шаг 2. Докажем прямой угол по квадратам сторон.
По формуле расстояния:
$$AB^2=(b-u)^2+v^2=(b-3b/4)^2+(\sqrt3b/4)^2=b^2/16+3b^2/16=b^2/4,$$
$$AC^2=u^2+v^2=(3b/4)^2+(\sqrt3b/4)^2=9b^2/16+3b^2/16=3b^2/4.$$
Сумма квадратов $AB^2+AC^2=b^2/4+3b^2/4=b^2=BC^2$. По обратной теореме Пифагора угол между $AB$ и $AC$, то есть угол $A$, прямой. Пункт а доказан.
Шаг 3. Найдём $F$ при $AB=8$.
Из $AB^2=b^2/4$ и положительности длин следует $AB=b/2$. Значит, $b/2=8$ и $b=16$. Теперь
$$A=(3\cdot16/4;\sqrt3\cdot16/4)=(12;4\sqrt3),\qquad M=(8;0).$$
Прямая $AC$ имеет наклон $v/u=1/\sqrt3$. Перпендикулярная ей высота $MQ$ имеет наклон $-\sqrt3$, потому что произведение наклонов перпендикулярных непараллельных осям прямых равно $-1$. Через $M=(8;0)$ её уравнение
$$y=-\sqrt3(x-8).$$
Прямая $AH$ вертикальна, её уравнение $x=12$. Подставляем в уравнение $MQ$:
$$y_F=-\sqrt3(12-8)=-4\sqrt3.$$
Следовательно, $F=(12;-4\sqrt3)$. Это пересечение прямых на продолжениях; условие не требует нахождения $F$ внутри треугольника.
Шаг 4. Вычислим площадь.
Основание $CM$ находится на оси $x$ и имеет длину $8$. Перпендикулярное расстояние от $F$ до оси равно модулю его вертикальной координаты: $|-4\sqrt3|=4\sqrt3$. Поэтому
$$S_{CMF}=\frac12\cdot8\cdot4\sqrt3=16\sqrt3.$$
Проверка масштаба: $AB^2=b^2/4=256/4=64$, значит, $AB=8$, как дано.
Ответ: а) $\angle BAC=90^\circ$; б) $S_{CMF}=16\sqrt3$.