В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK:KB=1:3.$
а) Докажите, что $AN=2KM.$
б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM$. Найдите длину отрезка прямой $BP,$ заключённого внутри треугольника $ABC,$ если $AC=6,$ $BC=8.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{4\sqrt{109}}5$.
Решение
Нужно сравнить длины $AN$ и $KM$, а затем найти весь отрезок прямой $BP$ внутри треугольника. Точка $P$ внутри треугольника — лишь вспомогательная; искомый отрезок продолжится от неё до катета $AC$.
Выберем прямоугольную систему координат вдоль катетов: $C=(0;0)$, $A=(a;0)$, $B=(0;b)$, где $a=AC>0$, $b=BC>0$. Это удобно: прямой угол уже задан осями, а координаты середин получаются делением пополам. Для любых точек $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ квадрат расстояния равен $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ — это теорема Пифагора для горизонтального и вертикального перемещений.
Шаг 1. Найдём координаты $M,N,K$.
Точки $M$ и $N$ — середины, поэтому $M=(a/2;b/2)$, $N=(0;b/2)$. Отношение $CK:KB=1:3$ означает, что $CK$ занимает одну из четырёх равных частей $BC$. Значит, $K=(0;b/4)$.
По формуле расстояния:
$$AN^2=(a-0)^2+(0-b/2)^2=a^2+b^2/4,$$
$$KM^2=(a/2-0)^2+(b/2-b/4)^2=a^2/4+b^2/16.$$
Умножаем второе равенство на 4:
$$4KM^2=a^2+b^2/4=AN^2.$$
Длины положительны, поэтому из равенства квадратов получаем $AN=2KM$. Пункт а доказан.
Шаг 2. Найдём точку пересечения $P$.
Уравнение $AN$ получаем по пересечениям с осями: $x/a+2y/b=1$. Оно верно для $A=(a;0)$ и $N=(0;b/2)$.
Для $KM$ уравнение $4y/b-2x/a=1$: при $K$ левая часть равна 1, при $M$ — $2-1=1$. Обозначим $X=x/a$, $Y=y/b$. Система для пересечения становится
$$X+2Y=1,\qquad -2X+4Y=1.$$
Умножаем первое равенство на 2: $2X+4Y=2$. Вычитаем второе: $4X=1$, поэтому $X=1/4$; затем $2Y=1-1/4=3/4$, откуда $Y=3/8$. Значит,
$$P=(a/4;3b/8).$$
Шаг 3. Найдём вторую граничную точку прямой $BP$.
Любая точка на луче из $B$ через $P$ имеет координаты
$$x=t\frac a4,\qquad y=b+t\left(\frac{3b}{8}-b\right)=b-\frac{5bt}{8}.$$
При $t=0$ это $B$, при $t=1$ — $P$. Для пересечения с $AC$ нужно $y=0$:
$$b-\frac{5bt}{8}=0,\qquad 1-\frac{5t}{8}=0,\qquad t=\frac85.$$
Поэтому точка выхода $T$ имеет координаты $x=(8/5)(a/4)=2a/5$, $y=0$. Внутри выпуклого треугольника находится весь отрезок $BT$.
Шаг 4. Вычислим его длину.
При $a=6$, $b=8$ имеем $T=(12/5;0)$ и $B=(0;8)$. Поэтому
$$BT^2=(12/5)^2+8^2=144/25+64=144/25+1600/25=1744/25.$$
$$BT=\frac{\sqrt{1744}}5=\frac{\sqrt{16\cdot109}}5=\frac{4\sqrt{109}}5.$$
Проверим вычисленную точку $P$ в обеих прямых: $1/4+2\cdot3/8=1$, $4\cdot3/8-2\cdot1/4=3/2-1/2=1$. Точка $T$ лежит на $AC$, поскольку $0<2a/5<a$.
Ответ: а) $AN=2KM$; б) длина отрезка равна $4\sqrt{109}/5$.