Цепочки событий — задание №5 ЕГЭ по математике

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}04=0{,}96$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}04\cdot0{,}96=0{,}0384$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}96\cdot0{,}01=0{,}0096$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}0384+0{,}0096=0{,}048$$ Ответ: $0{,}048$.

Нужно найти самое маленькое целое число патронов, при котором стрелок успеет хотя бы один раз попасть. Считаем выстрелы независимыми, как в стандартной модели этой задачи. Вероятность промаха — дополнение вероятности попадания до 1: $$q=1-0{,}5=0{,}5$$ За n выстрелов не будет ни одного попадания только тогда, когда все n выстрелов — промахи. Для независимых выстрелов их вероятности перемножаются: $$P_{\text{все промахи}}=q^n$$ Хотя бы одно попадание — противоположное событие: $$P_{\text{попадёт}}=1-q^n$$ Проверим числа патронов по порядку: Для $1$ патронов: $$0{,}5^{1}=0{,}5=0{,}5$$ $$P=1-0{,}5=0{,}5<0{,}7$$ Для $2$ патронов: $$0{,}5^{2}=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25$$ $$P=1-0{,}25=0{,}75\ge0{,}7$$ Все меньшие проверенные количества не подходят, а $2$ подходит. Дополнительный патрон не уменьшает вероятность успеха. Поэтому минимум — $2$. Ответ: $2$ патрона.

Нужно найти самое маленькое целое число патронов, при котором стрелок успеет хотя бы один раз попасть. Считаем выстрелы независимыми, как в стандартной модели этой задачи. Вероятность промаха — дополнение вероятности попадания до 1: $$q=1-0{,}5=0{,}5$$ За n выстрелов не будет ни одного попадания только тогда, когда все n выстрелов — промахи. Для независимых выстрелов их вероятности перемножаются: $$P_{\text{все промахи}}=q^n$$ Хотя бы одно попадание — противоположное событие: $$P_{\text{попадёт}}=1-q^n$$ Проверим числа патронов по порядку: Для $1$ патронов: $$0{,}5^{1}=0{,}5=0{,}5$$ $$P=1-0{,}5=0{,}5<0{,}8$$ Для $2$ патронов: $$0{,}5^{2}=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25$$ $$P=1-0{,}25=0{,}75<0{,}8$$ Для $3$ патронов: $$0{,}5^{3}=0{,}5\cdot0{,}5\cdot0{,}5=0{,}125$$ $$P=1-0{,}125=0{,}875\ge0{,}8$$ Все меньшие проверенные количества не подходят, а $3$ подходит. Дополнительный патрон не уменьшает вероятность успеха. Поэтому минимум — $3$. Ответ: $3$ патрона.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}06=0{,}94$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}06\cdot0{,}96=0{,}0576$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}94\cdot0{,}01=0{,}0094$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}0576+0{,}0094=0{,}067$$ Ответ: $0{,}067$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}05=0{,}95$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}05\cdot0{,}99=0{,}0495$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}95\cdot0{,}01=0{,}0095$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}0495+0{,}0095=0{,}059$$ Ответ: $0{,}059$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}1=0{,}9$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}1\cdot0{,}96=0{,}096$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}9\cdot0{,}06=0{,}054$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}096+0{,}054=0{,}15$$ Ответ: $0{,}15$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}01=0{,}99$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}01\cdot0{,}96=0{,}0096$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}99\cdot0{,}06=0{,}0594$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}0096+0{,}0594=0{,}069$$ Ответ: $0{,}069$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}03=0{,}97$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}03\cdot0{,}91=0{,}0273$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}97\cdot0{,}01=0{,}0097$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}0273+0{,}0097=0{,}037$$ Ответ: $0{,}037$.

В каждом из $3$ матчей жребий даёт два равновероятных исхода. Обозначим М — команда начинает с мячом, Б — начинает без мяча. Жеребьёвки разных матчей считаем независимыми. Всего последовательностей: $$2\cdot2\cdot2=8$$ Перечислим их, чтобы явно увидеть подходящие случаи: $$\text{БББ},\quad\text{ББМ},\quad\text{БМБ},\quad\text{БММ},\quad\text{МББ},\quad\text{МБМ},\quad\text{ММБ},\quad\text{МММ}$$ Не более одного раза означает ноль или один раз; два и больше не подходят. Подходящие последовательности: $$\text{БББ},\quad\text{ББМ},\quad\text{БМБ},\quad\text{МББ}$$ Их $4$ из $8$ равновозможных. $$P=\frac{4}{8}$$ Сократим дробь: разделим числитель и знаменатель на $4$. $$\frac{4:4}{8:4}=\frac{1}{2}$$ Для перевода в десятичную дробь домножим числитель и знаменатель на одно и то же число: $$\frac{1}{2}=\frac{1\cdot5}{2\cdot5}=\frac{5}{10}$$ $$\frac{1}{2}=0{,}5$$ Ответ: $0{,}5$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}01=0{,}99$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}01\cdot0{,}93=0{,}0093$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}99\cdot0{,}03=0{,}0297$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}0093+0{,}0297=0{,}039$$ Ответ: $0{,}039$.

В каждом из $3$ матчей жребий даёт два равновероятных исхода. Обозначим М — команда начинает с мячом, Б — начинает без мяча. Жеребьёвки разных матчей считаем независимыми. Всего последовательностей: $$2\cdot2\cdot2=8$$ Перечислим их, чтобы явно увидеть подходящие случаи: $$\text{БББ},\quad\text{ББМ},\quad\text{БМБ},\quad\text{БММ},\quad\text{МББ},\quad\text{МБМ},\quad\text{ММБ},\quad\text{МММ}$$ Начать с мячом нужно каждый матч, поэтому подходит только последовательность из одних М. Подходящие последовательности: $$\text{МММ}$$ Их $1$ из $8$ равновозможных. $$P=\frac{1}{8}$$ Для перевода в десятичную дробь домножим числитель и знаменатель на одно и то же число: $$\frac{1}{8}=\frac{1\cdot125}{8\cdot125}=\frac{125}{1000}$$ $$\frac{1}{8}=0{,}125$$ Ответ: $0{,}125$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}2=0{,}8$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}2\cdot0{,}95=0{,}19$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}8\cdot0{,}05=0{,}04$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}19+0{,}04=0{,}23$$ Ответ: $0{,}23$.

В каждом из $2$ матчей жребий даёт два равновероятных исхода. Обозначим М — команда начинает с мячом, Б — начинает без мяча. Жеребьёвки разных матчей считаем независимыми. Всего последовательностей: $$2\cdot2=4$$ Перечислим их, чтобы явно увидеть подходящие случаи: $$\text{ББ},\quad\text{БМ},\quad\text{МБ},\quad\text{ММ}$$ Не более одного раза означает ноль или один раз; два и больше не подходят. Подходящие последовательности: $$\text{ББ},\quad\text{БМ},\quad\text{МБ}$$ Их $3$ из $4$ равновозможных. $$P=\frac{3}{4}$$ Для перевода в десятичную дробь домножим числитель и знаменатель на одно и то же число: $$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot25}{4\cdot25}=\frac{75}{100}$$ $$\frac{3}{4}=0{,}75$$ Ответ: $0{,}75$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}01=0{,}99$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}01\cdot0{,}95=0{,}0095$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}99\cdot0{,}05=0{,}0495$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}0095+0{,}0495=0{,}059$$ Ответ: $0{,}059$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}01=0{,}99$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}01\cdot0{,}94=0{,}0094$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}99\cdot0{,}04=0{,}0396$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}0094+0{,}0396=0{,}049$$ Ответ: $0{,}049$.

Забраковать батарейку можно двумя разными путями: она неисправна и контроль обнаружил дефект; либо она исправна, но контроль ошибся. Посчитаем пути отдельно, затем сложим: одна батарейка не может одновременно быть исправной и неисправной. Сначала найдём вероятность исправности как вероятность противоположного события: $$P_{\text{исправна}}=1-0{,}1=0{,}9$$ Первый путь. Вероятность обнаружения дефекта дана при условии, что батарейка уже неисправна. Поэтому применяем правило последовательных событий: вероятность первого события умножается на вероятность второго при этом условии. $$P_1=P_{\text{неисправна}}\cdot P_{\text{забракована при неисправности}}$$ $$P_1=0{,}1\cdot0{,}97=0{,}097$$ Второй путь. Сначала батарейка должна оказаться исправной, а затем контроль должен ошибочно забраковать её: $$P_2=0{,}9\cdot0{,}07=0{,}063$$ Теперь складываем два несовместных пути. Это учитывает забракованные батарейки среди всех изготовленных: $$P=P_1+P_2=0{,}097+0{,}063=0{,}16$$ Ответ: $0{,}16$.