Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,8?
Ответ: $3$.
Решение
Нужно найти самое маленькое целое число патронов, при котором стрелок успеет хотя бы один раз попасть. Считаем выстрелы независимыми, как в стандартной модели этой задачи.
Вероятность промаха — дополнение вероятности попадания до 1:
$$q=1-0{,}5=0{,}5$$
За n выстрелов не будет ни одного попадания только тогда, когда все n выстрелов — промахи. Для независимых выстрелов их вероятности перемножаются:
$$P_{\text{все промахи}}=q^n$$
Хотя бы одно попадание — противоположное событие:
$$P_{\text{попадёт}}=1-q^n$$
Проверим числа патронов по порядку:
Для $1$ патронов:
$$0{,}5^{1}=0{,}5=0{,}5$$
$$P=1-0{,}5=0{,}5<0{,}8$$
Для $2$ патронов:
$$0{,}5^{2}=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25$$
$$P=1-0{,}25=0{,}75<0{,}8$$
Для $3$ патронов:
$$0{,}5^{3}=0{,}5\cdot0{,}5\cdot0{,}5=0{,}125$$
$$P=1-0{,}125=0{,}875\ge0{,}8$$
Все меньшие проверенные количества не подходят, а $3$ подходит. Дополнительный патрон не уменьшает вероятность успеха. Поэтому минимум — $3$.
Ответ: $3$ патрона.