Вынесение общего множителя за скобки — это разложение многочлена на множители, то есть его запись в виде произведения, с помощью распределительного свойства умножения a(b + c) = ab + ac, применённого справа налево: многочлен как сумму одночленов (произведений чисел, переменных и их натуральных степеней) записывают так, что общий множитель, на который делится каждое слагаемое, стоит перед скобками, а в скобках остаются частные от деления слагаемых на него. Алгоритм вынесения общего множителя сводится к трём действиям: найти наибольший общий делитель коэффициентов, взять переменные, входящие во все слагаемые, с наименьшим показателем степени, и разделить на полученный множитель каждое слагаемое, а проверка результата раскрытием скобок должна снова дать исходный многочлен. Например, 6x² + 9x = 3x(2x + 3), потому что 3x · 2x = 6x² и 3x · 3 = 9x.
Что такое общий множитель и зачем его выносить
Общий множитель многочлена — это число, переменная или выражение, которое входит множителем в каждое слагаемое. В сумме 10a + 15b таким множителем служит 5: 10a = 5 · 2a, 15b = 5 · 3b. Поэтому 10a + 15b = 5(2a + 3b).
Выносить общий множитель нужно, чтобы превратить сумму в произведение. Такая запись короче, в ней видна структура выражения, а главное, с произведением удобнее работать: его проще сократить в дроби, по нему легче решить уравнение. Например, уравнение x² − 5x = 0 после преобразования x(x − 5) = 0 решается сразу: произведение равно нулю, когда x = 0 или x = 5.
В школьном курсе алгебры приём изучается в 7 классе как первый способ разложения многочлена на множители. На нём строятся и следующие способы, например группировка.
Как распознать общий множитель в многочлене
Общий множитель ищут по трём признакам:
- коэффициенты всех слагаемых делятся на одно и то же число, отличное от 1;
- одна и та же переменная есть в каждом слагаемом;
- одинаковое выражение в скобках повторяется во всех слагаемых, например (a − b).
Важно слово «каждом». В выражении ab + ac + d переменная a есть только в двух слагаемых из трёх, поэтому вынести её за скобки нельзя. А в выражении 4x³ + 6x² + 2x все коэффициенты чётные и в каждом слагаемом есть x, значит, общий множитель равен 2x: 4x³ + 6x² + 2x = 2x(2x² + 3x + 1).
Обычно выносят наибольший общий множитель. Формально верно и 12x + 18 = 2(6x + 9), но в скобках остаётся множитель 3, и разложение не доведено до конца. Ответ 6(2x + 3) считается полным, потому что в скобках общих множителей больше нет.
Связь одночлена, многочлена и разложения на множители
Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней: 7ab, −3x², 5. Многочлен — сумма одночленов, каждый из них называют членом или слагаемым многочлена: 3x² − 5x + 2.
Разложить многочлен на множители значит записать его в виде произведения, тождественно равного исходному выражению, то есть равного ему при любых значениях переменных. При вынесении общего множителя произведение получается из двух частей: одночлена перед скобками и многочлена в скобках. Число слагаемых в скобках совпадает с числом слагаемых исходного многочлена, потому что каждое из них делится на общий множитель отдельно.
Распределительное свойство умножения как основа правила
Распределительное свойство умножения относительно сложения утверждает, что умножить число на сумму можно, умножив его на каждое слагаемое и сложив результаты. Это свойство работает в обе стороны, и вынесение множителя за скобки — его обратная запись.
Прямая запись распределительного свойства
В прямом направлении свойство записывают так:
a(b + c) = ab + ac, a(b − c) = ab − ac.
Так раскрывают скобки, то есть превращают произведение в сумму. Например:
3x(2x − 5) = 3x · 2x − 3x · 5 = 6x² − 15x.
Свойство справедливо для любого числа слагаемых в скобках: a(b + c + d) = ab + ac + ad.
Обратная запись: вынесение множителя за скобки
Если прочитать те же равенства справа налево, получится правило вынесения общего множителя:
ab + ac = a(b + c), ab − ac = a(b − c).
Множитель a, общий для слагаемых ab и ac, записывают один раз перед скобками, а в скобках оставляют то, на что он умножался: b и c. Предыдущий пример в обратную сторону выглядит так:
6x² − 15x = 3x(2x − 5).
Отсюда главный смысл правила: в скобках записывают частные от деления каждого слагаемого на общий множитель. Именно поэтому любое разложение проверяют прямым применением того же свойства, то есть раскрытием скобок.
Алгоритм вынесения общего множителя за скобки
Как выносить общий множитель за скобки, удобно запомнить в виде последовательности шагов:
- Найти наибольший общий делитель модулей коэффициентов.
- Найти переменные, которые входят во все слагаемые, и взять каждую с наименьшим показателем степени.
- Составить общий множитель из числа и буквенной части и записать его перед скобками.
- Разделить каждое слагаемое на общий множитель и записать частные в скобках.
- Проверить знаки и раскрыть скобки для проверки.
Разберём каждый шаг на одном многочлене: 12a³b² − 18a²b⁴.
Найти общий числовой множитель
Числовая часть общего множителя — наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов. Знак при поиске НОД не учитывают и работают с модулями чисел.
Для 12 и 18 делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Наибольший общий из них 6. Если коэффициенты не имеют общих делителей, кроме 1, числовой множитель не выносят, например в 3x + 5x² общий множитель только x.
Найти общую буквенную часть
Переменная попадает в общий множитель, только если она есть во всех слагаемых. Её берут с наименьшим из встречающихся показателей степени, потому что именно такая степень содержится в каждом слагаемом.
В многочлене 12a³b² − 18a²b⁴ переменная a встречается в степенях 3 и 2, значит, выносим a². Переменная b встречается в степенях 2 и 4, значит, выносим b². Общая буквенная часть равна a²b², а весь общий множитель равен 6a²b².
Записать оставшиеся множители в скобках
Каждое слагаемое делят на общий множитель. Коэффициенты делят как числа, а степени с одинаковым основанием делят, вычитая показатели: a³ : a² = a, b⁴ : b² = b².
12a³b² : 6a²b² = 2a, −18a²b⁴ : 6a²b² = −3b².
Получаем 12a³b² − 18a²b⁴ = 6a²b²(2a − 3b²).
Если слагаемое целиком совпадает с общим множителем, в скобках на его месте пишут 1, а не оставляют пустое место: 5x² + x = x(5x + 1).
Проверить знак и результат раскрытием скобок
Знак каждого слагаемого в скобках определяется по правилу знаков при делении. При положительном общем множителе знаки слагаемых в скобках совпадают с исходными. Если вынести множитель со знаком минус, все знаки в скобках меняются на противоположные.
Затем раскрываем скобки:
6a²b² · 2a = 12a³b², 6a²b² · (−3b²) = −18a²b⁴.
Получился исходный многочлен, значит, разложение верно. Дополнительно стоит убедиться, что у слагаемых 2a и −3b² в скобках больше нет общего множителя, то есть вынесено всё.
Примеры вынесения общего множителя за скобки
Примеры ниже расположены от простых к сложным: сначала общий множитель — только число, затем только переменная, потом их сочетание, отрицательные коэффициенты и выражения с общим множителем-скобкой.
Примеры с числовым общим множителем
Условие: разложить на множители 12x + 18.
Решение: НОД(12, 18) = 6. Переменная x есть только в первом слагаемом, поэтому буквенной части у общего множителя нет. Делим: 12x : 6 = 2x, 18 : 6 = 3.
Ответ: 12x + 18 = 6(2x + 3).
Условие: разложить на множители 15a − 25b + 35.
Решение: НОД(15, 25, 35) = 5. Общих переменных нет. Делим: 15a : 5 = 3a, −25b : 5 = −5b, 35 : 5 = 7.
Ответ: 15a − 25b + 35 = 5(3a − 5b + 7).
Условие: разложить на множители 8m + 4.
Решение: общий множитель 4, и второе слагаемое ему равно, поэтому в скобках на его месте остаётся 1.
Ответ: 8m + 4 = 4(2m + 1).
Примеры с буквенным общим множителем
Условие: разложить на множители ax + ay.
Решение: переменная a есть в обоих слагаемых, коэффициенты равны 1.
Ответ: ax + ay = a(x + y).
Условие: разложить на множители x³ + x².
Решение: наименьшая степень x равна 2, выносим x². Делим: x³ : x² = x, x² : x² = 1.
Ответ: x³ + x² = x²(x + 1).
Условие: разложить на множители a²b + ab².
Решение: обе переменные есть в каждом слагаемом, наименьшая степень у каждой равна 1. Общий множитель ab. Делим: a²b : ab = a, ab² : ab = b.
Ответ: a²b + ab² = ab(a + b).
Условие: разложить на множители m⁴n² − m²n³.
Решение: для m наименьшая степень 2, для n тоже 2. Общий множитель m²n². Делим: m⁴n² : m²n² = m², −m²n³ : m²n² = −n.
Ответ: m⁴n² − m²n³ = m²n²(m² − n).
Примеры с числовой и буквенной частью
Условие: разложить на множители 6x² + 9x.
Решение: НОД(6, 9) = 3, общая буквенная часть x. Общий множитель 3x. Делим: 6x² : 3x = 2x, 9x : 3x = 3.
Ответ: 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
Условие: разложить на множители 14a³b − 21a²b² + 7ab.
Решение: НОД(14, 21, 7) = 7. Наименьшая степень a равна 1, наименьшая степень b равна 1. Общий множитель 7ab. Делим: 14a³b : 7ab = 2a², −21a²b² : 7ab = −3ab, 7ab : 7ab = 1.
Ответ: 14a³b − 21a²b² + 7ab = 7ab(2a² − 3ab + 1).
Условие: разложить на множители 24x⁴y³ + 16x²y⁵.
Решение: НОД(24, 16) = 8. Для x наименьшая степень 2, для y наименьшая степень 3. Общий множитель 8x²y³. Делим: 24x⁴y³ : 8x²y³ = 3x², 16x²y⁵ : 8x²y³ = 2y².
Ответ: 24x⁴y³ + 16x²y⁵ = 8x²y³(3x² + 2y²).
Примеры с отрицательными коэффициентами и знаками
Когда первый коэффициент отрицательный, за скобки обычно выносят множитель со знаком минус. Это соглашение, а не обязательное требование: оба варианта записи верны, если они тождественно равны исходному выражению.
Условие: разложить на множители −4x − 12.
Решение: выносим −4. Делим: −4x : (−4) = x, −12 : (−4) = 3.
Ответ: −4x − 12 = −4(x + 3).
Условие: разложить на множители −10a² + 15a.
Решение: НОД(10, 15) = 5, общая переменная a. Выносим −5a. Делим: −10a² : (−5a) = 2a, 15a : (−5a) = −3.
Ответ: −10a² + 15a = −5a(2a − 3).
Если вынести 5a без минуса, получится 5a(−2a + 3), или 5a(3 − 2a). Это тоже верное разложение, просто записанное иначе.
Условие: разложить на множители −x³ + x² − x.
Решение: общий множитель x, первый коэффициент отрицательный, поэтому выносим −x. Делим: −x³ : (−x) = x², x² : (−x) = −x, −x : (−x) = 1.
Ответ: −x³ + x² − x = −x(x² − x + 1).
Более сложные выражения с несколькими слагаемыми
Общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен в скобках. Правило то же: выражение, которое входит в каждое слагаемое, записывают один раз.
Условие: разложить на множители 3x(a − b) + 5y(a − b).
Решение: в обоих слагаемых есть множитель (a − b). После его вынесения в скобках остаются 3x и 5y.
Ответ: 3x(a − b) + 5y(a − b) = (a − b)(3x + 5y).
Условие: разложить на множители 2a(x − y) − b(y − x).
Решение: скобки (x − y) и (y − x) отличаются только знаком: y − x = −(x − y). Поэтому −b(y − x) = b(x − y), и выражение принимает вид 2a(x − y) + b(x − y). Теперь общий множитель (x − y) виден явно.
Ответ: 2a(x − y) − b(y − x) = (x − y)(2a + b).
Условие: разложить на множители 18a³b² − 12a²b³ + 6a²b² − 30a⁴b².
Решение: НОД(18, 12, 6, 30) = 6. Наименьшая степень a равна 2, наименьшая степень b равна 2. Общий множитель 6a²b². Делим каждое из четырёх слагаемых: 18a³b² : 6a²b² = 3a, −12a²b³ : 6a²b² = −2b, 6a²b² : 6a²b² = 1, −30a⁴b² : 6a²b² = −5a².
Ответ: 18a³b² − 12a²b³ + 6a²b² − 30a⁴b² = 6a²b²(3a − 2b + 1 − 5a²).
В скобках четыре слагаемых, как и в исходном многочлене. Это быстрый признак того, что ни одно слагаемое не потеряно.
Типичные ошибки при вынесении множителя
Большинство ошибок связано с тремя моментами: выбором множителя, знаками и степенями, записью выражения в скобках.
Неправильный выбор общего множителя
В чём ошибка: вынесен не наибольший общий множитель, например 12x² + 8x = 2x(6x + 4), или вынесена переменная, которой нет хотя бы в одном слагаемом.
Почему она возникает: НОД коэффициентов подбирают наугад, а наименьшую степень переменной не сравнивают по всем слагаемым. Иногда берут степень из первого слагаемого: 12x² + 8x ≠ x²(12 + 8x), ведь во втором слагаемом x только в первой степени.
Как действовать правильно: найти НОД всех коэффициентов, для каждой переменной выбрать наименьший показатель среди всех слагаемых и после разложения проверить, что в скобках нет общего множителя. Верный ответ: 12x² + 8x = 4x(3x + 2).
Ошибки в знаках и показателях степеней
В чём ошибка: при вынесении минуса меняют знак только у первого слагаемого: −6a + 9 = −3(2a + 3). Вторая частая ошибка — деление показателей степеней вместо вычитания: x⁶ + x³ = x³(x² + 1).
Почему она возникает: деление на отрицательное число выполняют не для каждого слагаемого, а правило деления степеней путают с правилом возведения степени в степень.
Как действовать правильно: делить на общий множитель каждое слагаемое отдельно с учётом знака: 9 : (−3) = −3, поэтому −6a + 9 = −3(2a − 3). При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают: x⁶ : x³ = x³, поэтому x⁶ + x³ = x³(x³ + 1).
Пропуск слагаемого или неверная запись выражения в скобках
В чём ошибка: слагаемое, совпадающее с общим множителем, пропадает: 5a² − 10a + 5 = 5(a² − 2a) или 4y² + y = y · 4y.
Почему она возникает: кажется, что после деления слагаемого на само себя ничего не остаётся. На самом деле частное равно 1.
Как действовать правильно: считать слагаемые до и после преобразования, их число должно совпадать. На месте слагаемого, равного общему множителю, пишут 1: 5a² − 10a + 5 = 5(a² − 2a + 1), 4y² + y = y(4y + 1).
Как проверить результат
Проверка нужна потому, что разложение — тождественное преобразование: произведение должно быть равно исходному многочлену при любых значениях переменных. Надёжнее всего это показывает раскрытие скобок.
Раскрытие скобок по распределительному свойству
Множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое в скобках и складывают результаты. Например, для разложения 7ab(2a² − 3ab + 1):
7ab · 2a² = 14a³b, 7ab · (−3ab) = −21a²b², 7ab · 1 = 7ab.
Сумма 14a³b − 21a²b² + 7ab совпадает с исходным многочленом, значит, разложение верно. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, это обратное действие к вычитанию показателей при делении.
Сравнение исходного и преобразованного многочлена
После раскрытия скобок результат сравнивают с исходным многочленом по пунктам:
- число слагаемых одинаковое;
- коэффициенты совпадают по модулю и по знаку;
- у каждой переменной тот же показатель степени;
- в скобках не осталось общего множителя, то есть разложение полное.
Дополнительно можно подставить в обе записи одно и то же число. Например, при x = 2 выражение 6x² + 9x равно 24 + 18 = 42, а 3x(2x + 3) равно 6 · 7 = 42. Совпадение значений полезно для быстрой проверки, но доказательством не служит: при отдельном значении переменной неверное разложение тоже может случайно дать то же число. Если значения не совпали, ошибка есть точно, а если совпали, окончательно убедиться помогает раскрытие скобок.