Рациональные числа: что это такое, свойства и примеры

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби a/b, где числитель a и знаменатель b — целые числа, причём b ≠ 0: знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое, а числитель — сколько таких долей взято. Множество рациональных чисел обозначается буквой ℚ и включает все целые числа (…, −2, −1, 0, 1, 2, …), конечные десятичные дроби с конечным числом цифр после запятой, например 0,75, и периодические десятичные дроби, в которых после запятой бесконечно повторяется одна и та же группа цифр, например 0,333… = 0,(3). Все эти формы записи взаимозаменяемы: целое число 5 равно 5/1, дробь 0,75 равна 3/4, а 0,(3) равна 1/3.

Что такое рациональные числа и как их записывают

Простыми словами, рациональное число — это любое число, которое получается при делении одного целого числа на другое, не равное нулю. Название происходит от латинского ratio — «отношение»: рациональное число выражает отношение двух целых чисел.

Одно и то же рациональное число можно записать по-разному: обыкновенной дробью, смешанным числом, десятичной дробью или целым числом. Например, 1/2, 2/4, 0,5 и 50 % обозначают одну и ту же величину. Число остаётся рациональным, даже если записано в десятичной форме, главное, чтобы его в принципе можно было представить дробью из целых чисел.

Рациональное число в виде обыкновенной дроби

Основная форма записи — дробь a/b, где a — любое целое число, а b — целое число, отличное от нуля. Примеры: 3/4, −5/7, 12/5, 0/9.

Одно рациональное число соответствует бесконечному множеству равных дробей. Если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится:

1/2 = 2/4 = 3/6 = −4/(−8).

Чтобы запись была однозначной, обычно используют несократимую дробь с положительным знаменателем. Для числа 0,5 это 1/2, для −0,4 это −2/5.

Смешанное число тоже является рациональным: 2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3.

Числитель и знаменатель: что они показывают

Знаменатель — число под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных частей разделено целое. Числитель — число над чертой, он показывает, сколько таких частей взято. В дроби 3/8 целое разделено на 8 частей и взято 3 из них.

Дробная черта означает деление: 3/8 = 3 : 8. Поэтому знаменатель не может быть равен нулю, ведь на ноль делить нельзя. Числитель при этом может быть нулём: 0/5 = 0.

Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы: 9/4 — это два целых и ещё одна четверть. Знак рационального числа определяется знаками числителя и знаменателя: −3/5 = 3/(−5) = −(3/5), а (−3)/(−5) = 3/5.

Какие числа входят в множество рациональных чисел

Множество ℚ объединяет несколько более узких числовых множеств. Натуральные числа входят в целые, целые входят в рациональные. Кроме того, в ℚ есть дробные числа, которые не являются целыми.

Целые, положительные и отрицательные числа

Любое целое число рационально, потому что его можно записать дробью со знаменателем 1:

5 = 5/1, 0 = 0/1, −7 = −7/1.

По знаку рациональные числа делятся на три группы:

• положительные: 2, 3/4, 0,01, 15,5;
• отрицательные: −1, −2/3, −0,25;
• ноль, который не относится ни к положительным, ни к отрицательным.

Положительное рациональное число — это дробь, у которой числитель и знаменатель одного знака. Отрицательное — дробь с числителем и знаменателем разных знаков.

Конечные и периодические десятичные дроби

Конечная десятичная дробь содержит конечное число цифр после запятой: 0,3; 1,25; −4,075. Её всегда можно записать обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, поэтому она рациональна.

Периодическая десятичная дробь бесконечна, но её цифры после запятой с некоторого места повторяются одной и той же группой. Эту группу называют периодом и записывают в скобках:

• 0,333… = 0,(3) — чистая периодическая дробь, период начинается сразу после запятой;
• 0,1666… = 0,1(6) — смешанная периодическая дробь, перед периодом стоит неповторяющаяся часть.

Конечную дробь тоже можно считать периодической с периодом 0: 0,25 = 0,25(0). Так получается общее правило: любое рациональное число записывается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью, и наоборот, любая такая дробь задаёт рациональное число.

Как перевести рациональное число из одной формы записи в другую

Переход между формами нужен, когда в одном выражении встречаются и обыкновенные, и десятичные дроби, или когда требуется проверить, рационально ли число.

Перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную

Цифры после запятой записывают в числитель, а в знаменатель ставят единицу с таким количеством нулей, сколько цифр после запятой. Затем дробь сокращают.

Пример 1. Условие: перевести 0,45 в обыкновенную дробь. Решение: после запятой две цифры, значит знаменатель 100. 0,45 = 45/100. Сокращаем на 5: 45/100 = 9/20. Ответ: 9/20.

Пример 2. Условие: перевести −2,125 в обыкновенную дробь. Решение: после запятой три цифры, знаменатель 1000. 2,125 = 2125/1000. Сокращаем на 125: 2125/1000 = 17/8. Знак сохраняем. Ответ: −17/8.

Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Удобный способ — обозначить дробь буквой и составить уравнение так, чтобы бесконечные «хвосты» после запятой совпали и при вычитании исчезли.

Пример 1. Чистая периодическая дробь. Условие: перевести 0,(27) в обыкновенную дробь. Решение: пусть x = 0,2727… Период состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 100: 100x = 27,2727… Вычитаем исходное равенство: 100x − x = 27, то есть 99x = 27. Отсюда x = 27/99 = 3/11. Ответ: 3/11.

Пример 2. Смешанная периодическая дробь. Условие: перевести 0,1(6) в обыкновенную дробь. Решение: пусть x = 0,1666… Сначала сдвигаем запятую за неповторяющуюся часть: 10x = 1,666… Затем ещё на длину периода: 100x = 16,666… Вычитаем: 100x − 10x = 16 − 1, то есть 90x = 15. Отсюда x = 15/90 = 1/6. Ответ: 1/6.

Из этого способа следует короткое правило. В числитель записывают число, составленное из цифр до конца первого периода, минус число из цифр до начала периода. В знаменатель пишут столько девяток, сколько цифр в периоде, и затем столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

Пример 3. Условие: перевести 2,(45) в обыкновенную дробь. Решение: число до конца первого периода — 245, до начала периода — 2. В периоде две цифры, между запятой и периодом цифр нет. Получаем (245 − 2)/99 = 243/99 = 27/11. Ответ: 27/11.

Отдельный случай — период 9. Например, 0,(9) = 9/9 = 1, а 0,4(9) = 0,5. Поэтому такие записи обычно заменяют конечными дробями.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Числитель делят на знаменатель уголком. Результат бывает двух видов.

Если несократимая дробь имеет знаменатель, в разложении которого есть только множители 2 и 5, получится конечная десятичная дробь:

• 7/8 = 0,875, так как 8 = 2 · 2 · 2;
• 7/20 = 0,35, так как 20 = 2 · 2 · 5.

Если в знаменателе есть другие простые множители, получится бесконечная периодическая дробь:

• 2/11 = 0,1818… = 0,(18);
• 5/12 = 0,41666… = 0,41(6).

Периодичность объясняется остатками при делении. При делении на b остаток может принимать только значения от 0 до b − 1. Если деление не заканчивается, рано или поздно какой-то остаток повторится, и с этого места начнут повторяться цифры частного. При делении на 11 период не может быть длиннее 10 цифр, при делении на 7 — длиннее 6.

Признак проверяют именно у несократимой дроби: 3/12 даёт конечную дробь 0,25, потому что сокращается до 1/4.

Основные свойства рациональных чисел

Свойства рациональных чисел повторяют привычные свойства действий с натуральными числами, но выполняются уже для дробей и отрицательных значений.

Свойства сложения и умножения

Для любых рациональных a, b и c верны равенства:

• переместительное свойство: a + b = b + a и a · b = b · a;
• сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c) и (a · b) · c = a · (b · c);
• распределительное свойство: a · (b + c) = a · b + a · c;
• сложение с нулём: a + 0 = a;
• умножение на единицу: a · 1 = a;
• умножение на ноль: a · 0 = 0.

Эти свойства упрощают вычисления. Например, 3/7 · 5/9 + 3/7 · 4/9 = 3/7 · (5/9 + 4/9) = 3/7 · 1 = 3/7.

Противоположные и взаимно обратные числа

Противоположные числа отличаются только знаком, их сумма равна нулю: 2/5 и −2/5, −3,1 и 3,1. Для нуля противоположное число — сам ноль. У каждого рационального числа есть противоположное.

Взаимно обратные числа дают в произведении единицу. Для дроби a/b, где a ≠ 0, обратной будет b/a: 3/4 и 4/3, −5 и −1/5, 0,2 и 5. У нуля обратного числа нет, потому что произведение нуля на любое число равно нулю, а не единице.

Обратное число всегда имеет тот же знак, что и исходное. Противоположное, наоборот, меняет знак.

Замкнутость множества рациональных чисел

Множество замкнуто относительно действия, если результат этого действия над его элементами снова попадает в то же множество. Рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число: сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел тоже рациональны.

Это видно из правил действий с дробями. Например, a/b + c/d = (ad + bc)/(bd), где числитель и знаменатель — снова целые числа, а bd ≠ 0.

Целые числа таким свойством для деления не обладают: 1 : 3 уже не целое число. Именно расширение до рациональных чисел делает деление всегда выполнимым, кроме деления на ноль.

При этом не все действия оставляют результат в ℚ. Извлечение корня из рационального числа может дать иррациональное: число 2 рационально, а √2 — нет.

Действия с рациональными числами

Действия выполняются по правилам для обыкновенных дробей с учётом знаков. Если в выражении есть и десятичные, и обыкновенные дроби, их удобно привести к одной форме.

Сложение и вычитание

Чтобы сложить или вычесть дроби, их приводят к общему знаменателю, обычно к наименьшему общему кратному знаменателей, а затем складывают или вычитают числители.

Пример 1. Условие: вычислить 2/3 + 5/6. Решение: общий знаменатель 6. 2/3 = 4/6. Тогда 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2. Ответ: 3/2, или 1 1/2.

Пример 2. Условие: вычислить −3/4 − 1/6. Решение: общий знаменатель 12. −3/4 = −9/12, 1/6 = 2/12. Получаем −9/12 − 2/12 = −11/12. Ответ: −11/12.

Пример 3. Условие: вычислить 0,25 + 1/3. Решение: число 1/3 не записывается конечной десятичной дробью, поэтому переводим 0,25 в обыкновенную: 0,25 = 1/4. Тогда 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12. Ответ: 7/12.

Знаки учитываются как при действиях с целыми числами: вычитание числа заменяется сложением с противоположным, а при сложении чисел разных знаков из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем.

Умножение и деление

При умножении числитель умножают на числитель, а знаменатель на знаменатель. Деление заменяют умножением на число, обратное делителю. Произведение и частное чисел одного знака положительны, разных знаков — отрицательны.

Пример 1. Условие: вычислить −2/5 · 15/4. Решение: знаки разные, результат отрицательный. 2/5 · 15/4 = 30/20 = 3/2. Ответ: −3/2.

Пример 2. Условие: вычислить 3/7 : (−9/14). Решение: число, обратное −9/14, равно −14/9. Получаем 3/7 · (−14/9) = −42/63 = −2/3. Ответ: −2/3.

Сокращать удобнее до перемножения: в примере 2 можно сократить 3 и 9 на 3, а 7 и 14 на 7, и сразу получить −(1 · 2)/(1 · 3) = −2/3.

Как сравнивать рациональные числа

Способ сравнения зависит от знаков чисел и формы их записи.

Числа разных знаков сравниваются сразу: любое положительное число больше нуля, а ноль больше любого отрицательного. Поэтому 0,001 > −100.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, то есть то, которое ближе к нулю. Например, −2 > −5. Сравним −3/4 и −2/3: модули равны 9/12 и 8/12, модуль первого числа больше, значит −3/4 < −2/3.

Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю и сравнивают числители. Сравним 5/8 и 7/12: общий знаменатель 24, 5/8 = 15/24, 7/12 = 14/24. Так как 15 > 14, то 5/8 > 7/12. Для положительных знаменателей можно сравнить произведения крест-накрест: 5 · 12 = 60 и 7 · 8 = 56, значит 5/8 > 7/12.

Десятичные дроби сравнивают поразрядно, начиная с целой части. Если число знаков после запятой разное, его удобно уравнять нулями: 0,7 = 0,70 > 0,65. Периодическую дробь для сравнения записывают с несколькими повторениями периода: 0,(3) = 0,333… > 0,33, потому что в третьем разряде после запятой у первого числа стоит 3, а у второго 0.

Если одно число записано обыкновенной дробью, а другое десятичной, их приводят к одной форме. Сравним 3/8 и 0,4: 3/8 = 0,375 < 0,4.

Рациональные числа на координатной прямой

Координатная прямая — прямая с выбранной начальной точкой O, соответствующей нулю, единичным отрезком и направлением. Каждому рациональному числу соответствует ровно одна точка на этой прямой.

Положительные числа расположены справа от нуля, отрицательные — слева. Чем правее точка, тем больше число, поэтому на прямой хорошо видно, почему −5 < −2: точка −5 лежит левее.

Противоположные числа расположены симметрично относительно нуля, на одинаковом расстоянии от него. Точки 3/2 и −3/2 удалены от начала отсчёта на полтора единичных отрезка, одна вправо, другая влево. Это расстояние и есть модуль числа.

Чтобы отметить дробь a/b с положительным знаменателем, единичный отрезок делят на b равных частей и откладывают a таких частей от нуля в нужную сторону. Например, для 3/4 единичный отрезок делят на 4 части и отсчитывают 3 вправо. Число −1,5 находится посередине между −1 и −2.

Между любыми двумя рациональными числами всегда есть ещё одно рациональное число, например их среднее арифметическое. Между 1/3 и 1/2 лежит (1/3 + 1/2) : 2 = 5/12. Поэтому рациональные точки расположены на прямой сколь угодно плотно. Но заполняют они её не полностью: точке, удалённой от нуля на длину диагонали единичного квадрата, соответствует иррациональное число √2.

Чем рациональные числа отличаются от иррациональных

Иррациональное число нельзя записать в виде дроби a/b с целыми a и b. Его десятичная запись бесконечна и непериодична: цифры после запятой никогда не начинают повторяться одной группой. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.

Отличие легко проверить на конкретных записях. Число √9 = 3 рационально, хотя записано через корень, а √2 = 1,41421356… — нет. Число 22/7 = 3,(142857) рационально и часто используется как приближение π, но самому π не равно. Аналогично 3,14 — рациональное приближение иррационального числа π.

Бесконечная десятичная запись сама по себе не делает число иррациональным. Решает наличие периода: 0,(12) рационально, а 0,121121112… с постоянно удлиняющимися группами единиц — иррационально.

Где рациональные числа встречаются в жизни

Почти все величины, с которыми человек имеет дело на практике, записываются рациональными числами.

• Доли. Половина пирога — 1/2, три четверти часа — 3/4 часа, или 45 минут. Скидка 15 % означает долю 0,15 = 3/20 от цены.
• Измерения. Рост 1,75 м, масса 2,4 кг, объём 0,5 л. Любое измерение записывается с конечной точностью, поэтому результат всегда выражается конечной десятичной дробью. Даже длина окружности, связанная с иррациональным π, на практике измеряется и записывается рациональным приближением.
• Деньги. Цена 149,90 рубля — это 14 990/100 рубля. Расчёты с копейками или центами ведутся конечными десятичными дробями.
• Температура. Показания −5,5 °C или +18,3 °C — положительные и отрицательные рациональные числа. Изменение температуры с −3 °C до +2 °C вычисляется как разность 2 − (−3) = 5 градусов.
• Скорость и время. Автомобиль за 2,5 часа проезжает 150 км, значит его средняя скорость 150 : 2,5 = 60 км/ч. Пешеход, проходящий 1 км за 12 минут, движется со скоростью 1 : (12/60) = 5 км/ч.
• Рецепты и пропорции. 2/3 стакана муки, смесь в соотношении 1 : 4, уклон дороги 1/20 — всё это отношения целых чисел.

Отрицательные рациональные числа описывают долг, убыток, высоту ниже уровня моря и движение в обратную сторону. Благодаря им величины с направлением или знаком можно складывать, вычитать и сравнивать по тем же правилам, что и обычные дроби.