Сокращение дробей

Обыкновенная дробь состоит из числителя — числа над чертой — и знаменателя — числа под чертой; общий делитель — это число, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель, а несократимая дробь — дробь, у которой нет общего делителя, кроме 1. Сокращение дробей заключается в делении числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель, поэтому значение дроби сохраняется, а её запись становится проще.

Что значит сократить дробь

Сократить дробь — значит заменить её равной дробью с меньшими числителем и знаменателем. Для этого оба числа делят на один и тот же общий делитель, отличный от 1.

Например:

Числа 6 и 8 делятся на 2, поэтому дробь удалось сократить. Дроби $\frac{6}{8}$ и $\frac{3}{4}$ имеют одинаковое значение, хотя записаны по-разному.

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби гласит: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится:

если $b\ne 0$, $k\ne 0$, а во втором случае числитель и знаменатель делятся на $k$ без остатка.

При сокращении используют вторую часть свойства. Например:

Оба числа разделили на 5, поэтому дробь сохранила своё значение. Нельзя делить только числитель или только знаменатель: в таком случае получится уже другая дробь.

Сократимые и несократимые дроби

Сократимой называют дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Например, дробь $\frac{12}{18}$ сократима, потому что оба числа делятся на 2, 3 и 6.

Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Например:

являются несократимыми. Числитель и знаменатель каждой из них взаимно просты.

В 5 классе обычно достаточно проверить, делятся ли оба числа на 2, 3, 5 и другие подходящие делители. Если подходящего общего делителя нет, дробь уже записана в несократимом виде.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь, нужно:

1. найти общий делитель числителя и знаменателя;
2. разделить на него оба числа;
3. проверить, можно ли продолжить сокращение.

В краткой записи это выглядит так:

где $k$ — общий делитель числителя и знаменателя, больший 1.

Как найти общий делитель числителя и знаменателя

Сначала можно проверить небольшие делители:

• 2 — если оба числа чётные;
• 3 — если сумма цифр каждого числа делится на 3;
• 5 — если число оканчивается на 0 или 5;
• 10 — если число оканчивается на 0.

Также можно выписать делители обоих чисел и найти среди них общие.

Например, для дроби $\frac{18}{24}$:

• делители 18: $1,2,3,6,9,18$;
• делители 24: $1,2,3,4,6,8,12,24$.

Общие делители — 1, 2, 3 и 6. Для одного шага сокращения подойдёт любой из них, кроме 1. Если сразу выбрать 6, дробь быстро перейдёт к несократимому виду.

Обычно удобнее использовать наибольший общий делитель. Для чисел 18 и 24 это 6:

Как разделить числитель и знаменатель

Выбранный общий делитель применяют к обоим числам. Деление выполняют отдельно, но записывают в одной дроби:

Здесь и 28, и 42 разделили на 14. Полученные числа 2 и 3 уже нельзя разделить на один и тот же делитель, больший 1.

Если общий делитель не найден сразу, можно сокращать дробь поэтапно:

На каждом шаге числитель и знаменатель делят на одно и то же число.

Как проверить результат

После сокращения нужно убедиться в трёх вещах:

1. числитель и знаменатель разделены на один и тот же делитель;
2. деление выполнено без остатка;
3. у новой дроби нет общего делителя, кроме 1.

Например:

Проверка показывает, что 42 и 56 действительно делятся на 14, а числа 3 и 4 не имеют общего делителя, кроме 1. Значит, $\frac{3}{4}$ — окончательный результат.

Можно проверить и сохранение значения дроби: если умножить числитель и знаменатель результата на использованный делитель, должна получиться исходная дробь:

Примеры сокращения дробей

Сокращение на общий делитель

Сократите дробь:

Общий делитель чисел 32 и 40 — 8. Делим числитель и знаменатель на 8:

Числа 4 и 5 не имеют общего делителя, кроме 1. Ответ:

Последовательное сокращение

Иногда дробь удобно сокращать за несколько шагов. Рассмотрим пример:

Сначала оба числа делятся на 2:

Полученную дробь можно сократить ещё на 12:

Итак:

Можно было сразу разделить 48 и 72 на 24 и получить тот же результат:

Последовательное сокращение допустимо, если на каждом шаге числитель и знаменатель делят на одно и то же число.

Приведение к несократимому виду

Сократите дробь:

Наибольший общий делитель чисел 63 и 84 равен 21. Поэтому:

Дробь $\frac{3}{4}$ несократима: 3 и 4 не делятся на одно и то же число, большее 1. Следовательно, окончательный ответ:

Если после первого действия получается, например, $\frac{6}{8}$, работу ещё нельзя считать завершённой: эту дробь можно сократить на 2 и получить $\frac{3}{4}$.

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор делит числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), поэтому результат сразу будет несократимым.

Частые ошибки при сокращении дробей

Деление только числителя или только знаменателя

Ошибка:

Числитель разделили на 2, а знаменатель оставили без изменения. Это не сокращение дроби, потому что основное свойство требует выполнять одинаковое действие с обоими членами дроби.

Правильно:

Но результат ещё можно сократить:

Деление на разные числа

Ошибка:

Числитель разделили на 2, а знаменатель — на 5. Значение дроби изменилось, потому что одинаковый делитель не использован.

Правильные варианты:

или

В каждом случае оба числа разделены на один и тот же общий делитель.

Остановка до получения несократимой дроби

Ошибка:

Равенство записано верно, но сокращение не закончено: 12 и 18 ещё имеют общий делитель 6.

Продолжим:

Итоговая несократимая дробь — $\frac{2}{3}$. Чтобы проверить завершённость, нужно убедиться, что числитель и знаменатель больше нельзя разделить на одно и то же число, кроме 1.